1.4 常用恒等式和公式

在矢量运算中，必须应用各种矢量恒等式和公式作为运算工具，详见附录A。这里列出常用的微分形式和积分形式。应用矢性微分算符和矢量函数的直角分量形式，可以严格加以证明。例如，引入拉普拉斯算符“▽2”，它在直角坐标系中的分量形式为

证明

显然，在直角坐标系中

（1）微分形式

（2）积分形式

式（1.54）称为散度定理，它表示矢量场F的散度在体积V内的体积分等于矢量F通过包围该体积闭曲面S的通量，它建立了体积内的场量与包围体积界面上场量的体、面积分关系。在实际应用中，如果给定界面上场量值，就可设法求出界面包围体积内的场量值。式（1.55）称为斯托克斯定理，它表示矢量场F的旋度在曲面S内的面积分等于矢量场F沿包围该曲面周线l的环量，它建立了面积分内的场量与包围面积周界上场量的面、线积分关系。同样，由给定周界场量值可以求出周界包围面积内的场量值。在第2章中将会见到，这两个定理还可用于静态场量基本方程积分形式和微分形式间的相互转化。