二、典型例题

（一）随机事件的运算及其概率性质

例1 设事件A, B, C是某个试验的随机事件，事件D表示A, B, C三个事件中至少有两个发生，则D≠（ ）.

A.AB+BC+AC；

解 根据题意，D=AB+BC+AC，这是最简单的一种表示法．对于选项C，有

因此

对于选项D，有

所以答案是B.

例2 下列三对事件不是对立事件的是（ ）.

A.{x||x-a|＜10}与{x||x-a|≥10}；

B.30个产品全是合格品与30个产品中只有一个废品；

C.30个产品全是合格品与30个产品中至少有一个废品．

解 本题考查互不相容事件与对立事件的区别．事件A与事件B互不相容是指试验中A与B不能同时发生，即AB=∅；而A与B为对立事件是指一次试验中A与B必有一个发生且仅有一个发生，即AB=∅且A+B=Ω.

对于A，设事件A={x||x-a|＜10}, B={x||x-a|≥10}，显然AB=∅且A+B=Ω，所以A与B是对立事件．

对于B，两个事件不能同时发生，但也可以同时不发生，所以两事件互不相容，但不是对立事件．

对于C，两个事件不能同时发生，但在一次试验中必发生其中一个，所以两个事件是对立事件．

因此答案是B.

例3 （1994年数一）已知事件A, B满足，且P（A）=p，求P（B）.

解 由于

及，故1-P（A）-P（B）=0．从而P（B）=1-p.

例4 将n个同样的箱子和n只同样的小球分别编号为1,2, …, n．把这n只小球随机地投入n个箱子中，每个箱子中放一只小球．问至少有一只小球的编号与箱子的编号相同的概率是多少？

解 设Ai（i=1,2, …, n）表示事件“第i号小球恰好放入第i号箱子中”，则所求事件，而 ，所以．而P（AiAj）= ，所以

同理有

由一般加法公式，有

当n充分大时，这个概率近似等于1-e-1.

（二）古典概型

1．取球问题

例5 一袋中装有m+n个球，其中m个黑球，n个白球，现随机地从中每次取出一个球（不放回），求下列事件的概率：

（1）第i次取到的是白球；

（2）第i次才取到白球；

（3）前i次中能取到白球；

（4）前i次中恰好取到l个白球（l≤i≤m+n, l≤n）；

（5）到第i次为止才取到l个白球（l≤i≤m+n, l≤n）.

解 （1）m+n个球按顺序取出共有（m+n）！种取法，其中第i次取出的是白球的取法按乘法法则共有！种取法，于是“第i次取到的是白球”这个事件Ai的概率为

（2）同（1），基本事件总数为（m+n）! ,“第i次才取到白球”等价于“前i-1次取到的全是黑球，而且第i次取到的是白球”，由乘法法则，其取法共有! ．于是“第i次才取到白球”这个事件Bi的概率为

（3）记该事件为Ci，先计算其对立事件“前i次中没有取到白球”的概率得

于是.

（4）记该事件为Di，则

（5）“到第i次为止才取到l个白球”等价于“前i-1次恰好取到l-1个白球，而第i次取到的是白球”，于是该事件Ei的概率为

例6 一袋中装有m+n个球，其中m个黑球，n个白球，每次从中任取一球，取后放回，求下列事件的概率：

（1）第i次取到的是白球；

（2）第i次才取到白球；

（3）前i次能取到白球；

（4）前i次中恰好取到l个白球；

（5）到第i次为止才取到l个白球．

分析 对于有放回的取球，计算取法要用重复排列数，比如m+n个球，每次取一个球有m+n种取法，根据乘法法则，i次取球便有（m+n）i种取法．

解 （1）i次取球共有（m+n）i种取法，“第i次取到的是白球”的取法根据乘法法则共有种，从而所求事件Ai的概率为

（2）基本事件总数同（1），而“第i次才取到白球”等价于“前i-1次取到的全是黑球（共有mi-1种取法），且第i次取到的是白球（共有n种取法）”，由乘法法则第i次才取到白球的取法共有nmi-1种，于是所求事件Bi的概率为.

（3）所求事件记为Ci，先计算其对立事件“前i次中没有取到白球”的概率，于是.

（4）记该事件为Di，在i次中选取l次取白球共有种取法；其次每次取到的白球是n个球中的一个，共n种取法．l次共有nl种取法，然后其他i-l次取球应为黑球，共有mi-l种取法，利用乘法法则得“前i次中恰好取到l个白球”的取法共有种，于是所求事件的概率为

（5）记该事件为Ei,“到第i次为止才取到l个白球”等价于“前i-1次恰好取到l-1个白球，而第i次取到的是白球”．根据乘法法则，其取法有 种．于是

例7 从n双不同的鞋子中任取2r（2r＜n）只，求下列事件的概率：（1）没有成对的鞋子；（2）只有一对鞋子；（3）有k（k≤r）对鞋子；（4）至少有2只配成一对鞋子．

解 （1）A表示“没有成对的鞋子”事件，要使A发生，先从n双中取出2r双，再从每双中取出一只，因此

（2）设B表示“只有一对鞋子”事件，要使B发生，先从n双中取出一双，其两只全取，再从剩下的n-1双中取出2r-2双，从其每双中取出一只，所以

（3）设C表示“有k对鞋子”事件，要使C发生，先从n双中取出k双，其每双的两只全取，再从剩下的n-k双中取出2r-2k双，从其每双中取出一只，所以

（4）设D表示“至少有2只配成一对鞋子”事件，则表示“没有成对的鞋子”，则所求为.

例8 从1～2000中随机取一整数，取到的整数不能被6或8整除的概率是多少？

解 设事件A, B, C分别表示“取到能被6整除的数”，“取到能被8整除的数”，“取到不能被6或8整除的数”，则，从而所求-[P（A）+P（B）-P（AB）]，下面分别求P（A）, P（B）, P（AB）．由于，故A包含样本点个数为333，于是，又由于，故B包含样本点个数为250， .又因为一个数同时被6,8整除，相当于被它们的最小公倍数24整除，而，故AB包含的样本点个数为83，于是 从而于是

本题主要考查古典概型的计算，因此要熟悉排列与组合的运算，还要注意运用对立事件求概率来简化计算．

2．排序问题

例9 任意将10本书放在书架上，其中有两套书，一套3卷，另一套4卷，求下列事件的概率：（1）3卷一套的放在一起；（2）4卷一套的放在一起；（3）两套各自放在一起；（4）两套中至少有一套放在一起；（5）两套各自放一起，还按卷次顺序排好．

解 设A表示“3卷一套的放在一起”, B表示“4卷一套的放在一起”, C表示“两套各自放在一起”, D表示“两套按卷次顺序排好”.

（1）3卷一套的放在一起，可把3卷看成一个整体，总共有8个位置，不同方法有8！种，3卷一套之间可以任意排，共有3！种放法，所以

（3）两套各自放在一起，把两套分别看成两个整体，共有5个位置，不同排法共有5！种，4卷一套放在一起共有4！种不同排法，3卷一套的放在一起共有3！种不同排法，所以

（5）每套书按卷次顺序放好只有2种放法，所以

例10 某班n个男生m个女生（m≤n+1）随机排成一列，求任意两女生均不相邻的概率．

解 n+m个同学排成一列共有（n+m）！种排法．记所考虑的事件为A，先排男生，共有n！种排法，由于两女生均不相邻，所以女生应排在男生之间的空位上或两头，共有n+1个位置，在这些位子中选出m个排女生，从而有 种排法，于是所求事件的概率为

3．放球问题

例11 设有大小相同、标号分别为1,2,3,4,5的5个球，同时有标号为1,2, …,10的10个空箱，将5个球放入这10个空箱中，假设每个球放入任何一个箱子的可能性相同，并且每个空箱可以同时容纳5个以上的球，计算下列事件的概率：A={某指定的5个箱子中各有一个球}; B={每个箱子中最多只有一个球}; C={某个指定的箱子内不空}.

解 每个球都有10种不同的放法，5个球放入10个空箱中，共有105种不同的放法，且这105种放法（基本事件总数）是等可能的．

事件A中5个箱子已经指定，只需将5个球进行排列次序后各放入一个指定的空箱内，因此A包含5！个基本事件，所以

事件B是从10个箱子中任选5个箱子（共有种选法），然后再在所选定的5个空箱中各放入一个球（有5！种方案），根据乘法法则，事件B包含！个基本事件，所以

事件C的逆事件表示“某个指定的箱子内无球”，即“5个球都放入其他9个箱子中”， 包含的基本事件数为95，所以

（三）几何概型

例12 某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24h内各时刻来到的可能性都相等，如果它们需要停靠的时间分别为3h及4h，试求一船要在江中等待的概率．

解 设x, y分别为此二船到达码头的时间，则0≤x≤24,0≤y≤24．设A表示事件“一船要等待空出码头”，则A发生意味着同时满足下述两个不等式：x-y≤3, y-x≤4．由几何概率得，事件A的概率刚好等于正方形OABC中直线x-y=3与y-x=4之间的部分的面积与正方形OABC面积之比（如图1.1所示），即

例13 设k等可能地在区间[0,5]内取值，求方程4 x 2+4 kx+k+2=0有实根的概率．

解 样本空间对应区域是[0,5]，而方程有实根的充分必要条件是Δ=（4k）2-4×4（k+2）=16（k2-k-2）≥0，即k≥2（舍去k≤-1），从而有利区间为[2,5]，故所求概率为

（四）条件概率与乘法公式

例14 设口袋中装有2n-1只白球，2n只黑球，一次取出n只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算这颜色是黑球的概率．

解 记A, B, C分别为取出的n只球均为白球、黑球和同一种颜色球这三个事件．显然A与B互不相容，且C=A∪B．所以P（C）=P（A）+P（B）．而B⊂C，所以B∩C⊂B，则P（BC）=P（B）．由古典概型得所以

例15 已知在10个晶体管中有2个次品，在其中取两次，每次随机取一个，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两个都是正品；（2）一个是正品，一个是次品．

解 设第i次取出正（次）品的事件记为Ai（Bi）, i=1,2，则

（1）“两个都是正品”的事件相当于A1A2，所以

（2）“一个是正品，一个是次品”事件等价于A1B2+B1A2，且A1B2与B1A2互不相容，则所求事件的概率为

例16 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号．（1）求他拨号不超过3次而接通所需电话的概率；（2）若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

解 设Ai表示“第i次拨号拨对”（i=1,2,3）, A表示“拨号不超过3次而拨对”，则A=，且三者互不相容，则

于是所求为

（五）事件的独立性

例17 有4张同样卡片，其中3张上分别写有1,2,3，而另一张上同时写有1,2,3．现在随意取一张，令Ak={卡片上写有k}．证明事件A1, A2, A3两两独立但三个事件不独立．

证明 ．由于对任意k， j=1,2,3, k≠j，有，所以事件A1, A2, A3两两独立．但是

所以事件A1, A2, A3不独立．

例18 甲、乙两人投篮命中率分别为0.7和0.8，每人投篮3次，求有人投中的概率．

解 设A表示“有人投中”事件，则A-表示“无人投中”，设B表示“甲未投中”, C表示“乙未投中”，那么和C的概率分别应用伯努利概型有P（B）=（0.3）3=0.027， P（C）=（0.2）3=0.008，于是

故

例19 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现，试求指定的一页上至少有3个错误的概率（每一页的印刷符号超过500个）.

解 设有一个500重的伯努利试验E 1, E 2, …, E 500，其中Ei（i=1,2, …,500）表示“观察第i个错误是否出现在指定页上”这一随机试验，若以A表示“错误出现在指定页上”这个事件，则.

设Bi（i=1,2, …,500）表示“在指定页上恰有i个错误”这一事件，所求概率为

例20 假设一厂家生产的仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试．经调试后以概率0.8可以出厂，并以概率0.2定为不合格品不能出厂．现该厂新生产了n（n≥2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：（1）全部能出厂的概率α; （2）其中恰好有两台不能出厂的概率β; （3）其中至少有两台不能出厂的概率γ.

解 设A={仪器需进一步调试}, B={仪器能出厂} , AB={仪器经调试后能出厂}，由条件知，而P（A）=0.3, P（B|A）=0.8且P（AB）=P（A）P（B|A）=0.3 × 0.8=0.24，所以，即每台仪器能出厂的概率为0.94．由伯努利概型得

（六）全概率公式与贝叶斯公式

例21 已知在1000个灯泡中，坏灯泡的个数从0到5是等可能的．如果从1000个灯泡中取出的100个灯泡都是好的，求这1000个灯泡都是好灯泡的概率．

解 设A表示“任意取出的100个灯泡都是好的”, Bi表示“1000个灯泡中有i个坏的”（i=0,1, …,5），则

于是由全概率公式，得

再由贝叶斯公式，得

例22 在无线电通信中接连不断地发送信号0和1，假设其中0占60%，而1占40%.由于存在干扰，发送信号0时接收信号可能是0,1和x（模糊信号），概率相应为0.7,0.1和0.2；发送信号1时接收信号也可能是0,1和x（模糊信号），概率相应为0.05,0.85和0.1，问接收到模糊信号x时译成哪种信号为好？

解 引进事件H0={发送信号为0}, H1={发送信号为1}, Ai={接收信号为i}（i=0,1, x），由条件知

P（H0）=0.6, P（H1）=0.4，

P（A0|H0）=0.7, P（A1|H0）=0.1, P（Ax|H0）=0.2，

P（A 0|H 1）=0.05, P（A 1|H 1）=0.85, P（Ax|H 1）=0.1，

由贝叶斯公式得

计算结果表明，在接收到模糊信号x时译成0比译成1好．

例23 设有白球黑球各4只，从中任取4只放入甲盒，余下的4只放入乙盒，然后分别在两盒中各任取1球，颜色正好相同．试问放入甲盒的4只球中有几只白球的概率最大？并求此概率值．

解 设A表示“从甲、乙两盒中各取1球，颜色相同”, Bk（k=0,1,2,3,4）表示“甲盒中有k只白球”．显然B1, B2, B3互不相容，且A⊂B1∪B2∪B3，从而有

由全概率公式得

再由贝叶斯公式得

因此，放入甲盒中的4只球中有2只白球的概率最大，其概率为

例24 市场上有三箱某种产品，其中一箱是甲厂生产的，共100只，次品率为10%，其余两箱是乙厂生产的，每箱150只，次品率为20%, （1）现任取一箱，任取一个产品，求此产品是合格品的概率；（2）将三箱产品开箱混放，任取一个产品，求此产品是合格品的概率；（3）在混放的产品中任取一个，取到了合格品，求此产品为甲厂产品的概率．

解 （1）设A1表示事件“取到甲厂生产的一箱”, A2表示事件“取到乙厂生产的一箱”, B表示事件“取到的产品是合格品”，由全概率公式得

（2）混放后，产品总数为400个，其中合格品数为100×90%+2×150×80%=330个，所以.

（3）设H1表示事件“取到甲厂产品”, H2表示事件“取到乙厂产品”, B表示事件“取到的产品是合格品”，由贝叶斯公式得