七 天文学和数学的进步

对行星和恒星观测的数量化

由于农业生产的发展以及古代星占等的需要，在对天象观测资料长期积累的基础上，春秋战国时期天文、历法有了较广泛的发展和进步。正像司马迁在《史记·历书》中所说的，“幽厉之后，周世微，陪臣执政，史不记时，君不告朔，故畴人子弟分散，或在诸夏，或在夷狄”，而各诸侯国出于各自的政治需要，都十分重视天文的观测与研究。据《晋书·天文志》载，“鲁有梓慎（活动年代约在公元前570年—前540年），晋有卜偃（活动年代约在公元前675年—前650年），郑有裨竈（约和孔丘同时），宋有子韦（曾于公元前480年答宋景公问），齐有甘德，楚有唐昧，赵有尹皋，魏有石申夫（亦名石申，后四人活动年代约在公元前4世纪），皆掌著天文，各论图验”。这种各家并立的情况对天象的观测以及关于行星、恒星的知识积累，无疑起着积极的推动作用。在诸家之中最著名的是甘、石二家，石申著有《天文》八卷，甘德著有《天文星占》八卷，虽然原著早已遗逸，但从《史记》、《汉书》和《开元占经》等书的引文中，还能了解其大概。

关于水、金、火、木、土五大行星的知识，在战国时期大量出现。《汉书·天文志》说“古历五星之推，无逆行者，至甘氏、石氏经，以荧惑（火星）、太白（金星）为有逆行”。行星在天空星座的背景上自西往东走，叫顺行；反之，叫逆行。顺行时间多，逆行时间少，不作长期系统的观测，是难以发现逆行现象的。据《开元占经》引，“甘氏曰：去而复还为勾，再勾为巳”,“石氏曰，东西为勾，南北为巳”。他们都把行星逆行弧线描述成“巳”字形，是很简明形象的。由《开元占经》中的引文得知，甘、石测定了金星和木星的会合周期的长度，并定火星的恒星周期为1.9年（应为1.88年），木星为12年（应为11.86年）。这些都是对五星研究的深化和向定量化发展的表现。

长沙马王堆出土的帛书《五星占》，给出了从秦始皇元年（公元前246年）到汉文帝三年（公元前177年）凡七十年间，木星、土星和金星的位置表和它们在一个会合周期内的动态表。经研究，这应与战国时代的秦国所行用的颛顼历中关于行星的知识有密切的关系。这是在对三颗行星的运动状况作定量研究的基础上给出的，为后世行星运动研究的良好开端。它给出金星的会合周期为584.4日，比今测值仅大0.48日，土星的会合周期为377日，比今测值只小1.09日。这说明战国末期人们对行星的研究，比甘、石时代又有了很大的进步。

将天空恒星背景划分成若干特定的部分，建立一个统一的坐标系统，以此作为确定日月五星和许多天象发生的位置的依据，长期以来一直是人们的努力目标。春秋时期，沿黄、赤道带将临近天区划分成二十八个区域的二十八宿体系已经齐备。在湖北随州发掘的战国早期曾侯乙墓中，出土有一只漆箱盖，其上绘有二十八宿的全部名称。这是迄今所发现的包含完整的二十八宿星名的最早文字记载。又据《开元占经》所引，甘、石以及巫咸三家均有中、外官（星座）的划分法，说明除二十八宿体系外，对其他天区也作了区划，指明了各官的星数以及相邻官之间的相对位置。最引人注目的是，在论恒星的部分中，载有石氏所给出的121颗恒星的赤道坐标值和黄道内外度，即所谓“石氏星表”。它可能是石氏学派在几百年中长期观测的总汇。石申所进行的对二十八宿距度（二十八宿距星间的赤经差）和其他一些恒星入宿度（恒星同所在宿距星的赤经差）的测量，则是中国古代早期恒星定量观测的重大成果。1977年，在安徽阜阳出土了一件汉文帝十五年（公元前165年）的二十八宿圆盘，在盘上环周刻有二十八宿名称及其距度，经查对，与《开元占经》所载古距度数基本吻合。这说明直到西汉初年，所谓“古度”仍然为人们所采用。据研究，“古度”和“今度”这两套数据是由于采用的距星不同而形成的。有人认为，“今度”测定于石申时代，“古度”则约测定于公元前6世纪。虽然“石氏星表”是在石申以后的数百年中，经历了一个变化和不断充实的过程，才逐渐完善起来的，但是，至迟在石申时代天文学已经数量化，已经有了简单的浑仪（一种测定天体方位的测量仪器），这一点应是确实无疑的。而且“石氏星表”也应属于世界上最早的星表之列。

天象观测的重要成果

春秋战国时期人们十分重视异常天象的观测，并留下了不少宝贵的记录。日食记录约50次，其中仅《春秋》一书，就记载了37次日食。经考证，其中有33次是可靠的。这些日食记录的数量之多和准确程度，在当时世界上是无与伦比的。据《春秋·庄公七年》记载，鲁庄公七年（公元前687年）“夏四月辛卯夜，恒星不见，夜中星陨如雨”，这是世界上关于天琴座流星雨的最早记录。自此以后，我国史书上关于流星雨的记录，据不完全统计，至少在180次以上，这是一份珍贵的科学遗产。据《春秋·文公十四年》记载，鲁文公十四年（公元前613年）“秋七月，有星孛入于北斗”。这是关于哈雷（Halley, Edmund,1656—1742）彗星的最早记录。从秦始皇七年（公元前240年）起，到清宣统二年（1910年）止，哈雷彗星共出现29次，每次我国古代都有详细记录。这些都为现代的天文研究提供了一份宝贵的历史资料。

战国时期，人们对彗星的观测已经有了比较丰富的经验，积累了关于彗星形态的不少知识。长沙马王堆三号汉墓帛书中就有29幅图，画着各种形状的彗星。它应是楚人汇集的对彗星长期观测的成果。由此我们看到，人们已经注意到彗尾的不同形态，有宽有窄，有长有短，有直有弯，彗尾的条数有多有少；彗头画成一个圆圈或圆形的点，有的圆圈的中心又有一个圆圈或小圆点，这可能表明人们已经注意到彗头又可分为彗发和彗核两个部分，而且也有不同的类型。这些关于彗星形态的认识是符合科学的，它显示了当时人们对彗星观测的精细程度。

古四分历法

春秋战国时期天文学的成就还突出地表现为历法的进步，这是与农业生产对“天时”的较严格要求密切相关的。春秋后期，产生了一种取回归年长度为日，并采用十九年七闰为闰周的历法——古四分历。这一回归年数值比真正的回归年长度只多11分钟。在欧洲，罗马人于公元前43年采用的儒略历也是用的这个数值，但要比我国约晚五百年。能较好地调节回归年与朔望月长度（古四分历所用数据是日）的十九年七闰法，古代希腊人默冬（Meton）在公元前432年才发现，也要比我国晚百年左右。古四分历的这两个基本数据在当时世界上都是十分先进的，它的出现标志着我国历法已经进入比较成熟的时期。当时各诸侯国分别使用黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁六种历法，它们都是四分历，只是所规定的历法起算年份（历元）和每年开始的月份（岁首）有所不同。

为了更精确地反映季节的变化，我国古代历法中所特有的关于二十四节气的划分和安排经历了很长的发展过程，大致也在战国时期齐备起来了。由于这时人们还不知道太阳视运动的不均匀性，他们把一年平均分为24等分，即平均过十五天多设置一个节气，它反映了太阳一年内在黄道上视运动的24个特定位置，所以二十四节气实际上是一种特殊的太阳历。它作为我国古代历法的重要组成部分，一直对农业生产起着重要的指导作用。

春秋战国时期关于宇宙理论的各种思潮和流派的斗争及其发展，也是天文学进步的一个侧面，我们将在本章第十节中谈到它。

算筹、筹算和十进位值制

这一时期数学的发展，在前两节中已有涉及，下面着重谈谈筹算及其计算工具算筹和十进位值制的进步。

筹算是以“筹”为主要计算工具的一种具有独特风格的计算方法。它的产生应在春秋战国之前。由于生产的迅速发展和科学技术的进步提出了大量比较复杂的数字计算问题，筹算在春秋战国时期臻于成熟。《老子》提到“善计者不用筹策”，可见这时候筹算已经相当普遍了。

筹，就是一些小竹、木棍。1954年在长沙左家公山一座战国晚期的楚墓出土的文物中，有一个竹笥，其中装有天平、砝码、铜削、毛笔等物品，很像是一套办公用具。其中还装有竹棍四十根，长短一致，约12厘米。实际上，这就是算筹实物。1978年在河南登封出土的战国早期陶器上刻有算筹记数的陶文，这是已发现的关于算筹记数的最早实物证据。在战国时期的货币中，也有一些是用算筹记写的数目为纹式的。用筹来表示一个单位数目，可以分纵式和横式两种，分别用：

来表示l、2、3、4、5、6、7、8、9。用筹来记数的方法是：个位用纵式，十位用横式，百位又是纵式，千位用横式……这样纵横相间，再加上遇零空位的方法，就可以摆出任意的自然数。例如，1979就可以摆成。这一记数法是符合十进位值制原则的。“十进”是指“逢十进一”。“位值制”也叫“地位制”，例如同样是2，在十位就是20，在百位就是200，根据这个2在数目中的位置不同，它所表示的数值也不同。在《墨子·经下》有“一少于二而多于五，说在建”的记载，显而易见，此中所讲的就和十进位值制有关。

春秋战国时期，四则运算已经完备。例如战国初年李悝《法经》关于一个“农夫”一家五口的收支情况的叙述中，已经用到加、减、乘等运算。有不少先秦古籍中都有乘法口诀的若干例句。上面已经讲到古四分历的回归年和朔望月的长度都不是整日数，其奇零部分是用分数表示的，所以在历法计算中便不可避免地要遇到分数的计算，而且有些计算还十分复杂。

十进位值制的记数法和在此基础上以筹为工具的各种运算，是我国古代劳动人民的一项极为出色的创造。它比世界上其他一些文明发生较早的地区，如古巴比伦、古埃及和古希腊所用的计算方法要优越得多。印度直到6世纪，20、30、40等10的倍数仍用特殊的记号表示，到了7世纪才有采用十进位值制记数法的明显证据。现在通用的1、2、3……——所谓的“印度·阿拉伯数码”，大概在10世纪才传到欧洲，而其渊源很可能是起源于中国。十进位值制记数法，是我国古代劳动人民对世界人民的一项不可磨灭的贡献。正如英国的科学史家李约瑟所说，“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了”。我们还要指出，这一创造对我国古代计算技术的高度发展产生了巨大的影响，但是它也同时存在着弱点，筹算不如笔算之处在于，计算过程中的中间步骤没有保存，因而检验较难，以致影响到逻辑推理的发展。

另外，不容怀疑的是，《九章算术》中方田、粟米、衰分、少广、商功等章的内容，绝大部分是产生于秦以前的，这部分内容我们拟在下一章加以介绍。