1.7.1　无穷小量

定义1　如果函数f（x）当x→x0（或x→∞）时的极限为零，那么称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量，简称无穷小.

例如，因为=0，所以函数sinx是当x→0时的无穷小；因为，所以函数ex是当x→-∞时的无穷小；同理，函数是当x→∞时的无穷小.

注　（1）定义1中的极限还包括其他类型函数的极限，例如，x→，x→+∞等；

（2）无穷小量是一个以0为极限的变量，不是一个绝对值很小的数，而0是作为无穷小量的唯一常数，它是无穷小量的一个特例；

（3）无穷小量是相对于自变量的某一具体变化过程而言的.例如，当x→∞时，是无穷小量，但当x→1时，就不是无穷小量了.

函数的极限与无穷小之间存在密切联系，下面的定理说明了二者之间的关系.

定理1　成立的充分必要条件

f（x）=A+α（x）；

其中，α（x）为x→x0时的无穷小量.

证　先证必要性.

由及极限的四则运算法则知

故函数f（x）-A是x→x0时的无穷小量.

记α（x）=f（x）-A，则α（x）为x→x0时的无穷小量，f（x）=A+α（x）.

再证充分性.

由函数f（x）=A+α（x），其中α（x）为x→x0时的无穷小量，得

故

根据极限的运算法则和定理1，不难证明无穷小具有以下性质.

性质1　有限个无穷小的代数和是无穷小.

性质2　有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

性质3　常数与无穷小的乘积是无穷小.

性质4　有限个无穷小的乘积是无穷小.

下面仅针对x→x0的情形证明性质1和性质2，其余的留给读者去完成.

性质1的证明：

考虑两个无穷小的和.

设α（x），β（x）是x→x0时的无穷小，则.

所以

即α（x）+β（x）是x→x0时的无穷小.

有限个无穷小之和的情形也可以类似证明.

性质2的证明：

设函数f（x）是x→x0时的有界函数，则存在正常数M，使得当x→x0时，有

|f（x）|≤M.

设α（x）是x→x0时的无穷小，则当x→x0时，

0≤|f（x）α（x）|≤|f（x）|·|α（x）|≤M|α（x）|.

而

由夹逼准则得

所以f（x）α（x）是x→x0时的无穷小，即有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

例1　求

解　当x→0时，函数x为无穷小，而，即函数是有界函数，由性质2知，是x→0时的无穷小，故

例2　求

解　当n→∞时，式中每一项都是无穷小，但由于项数随n增大而不断增加，故不是有限项之和，而是无穷个无穷小之和，因此不能直接利用性质1，

由于

所以

由例2知，无穷个无穷小之和不一定是无穷小.