4.2 课后习题详解
1简释下列概念：
（1）生产函数
答：生产函数是表明在既定的技术水平下，生产要素投入量的组合与产品的最大产量之间技术关系的函数。它既可以用于描述某个企业或行业的生产特征，也可以作为总生产函数应用于整个经济。在新古典经济学的生产分析中，通常把企业视为将投入组合转化为产出的“黑匣子”，生产函数就是对企业的这种功能的描述。生产函数所表明的是一种技术关系。在任何技术条件下，都存在一个与之对应的生产函数。为研究方便，通常假设生产函数满足如下假定：①单值连续函数，具有连续的一阶和二阶偏导数；②严格凹函数或严格拟凹函数；③递增的函数。
（2）柯布-道格拉斯生产函数
答：柯布-道格拉斯生产函数是由数学家柯布和经济学家道格拉斯于20世纪30年代初共同提出来的一种函数。柯布-道格拉斯生产函数以其简单的形式描述了经济学家所关心的一些性质，它在经济理论的分析和实证研究中都具有一定意义。该生产函数的一般形式为：
Q＝ALαKβ
其中，Q为产量；L和K分别为劳动和资本投入量；A、α和β为三个参数，0＜α、β＜1。
柯布-道格拉斯生产函数中的参数α和β的经济含义是：当α＋β＝1时，α和β分别表示劳动和资本在生产过程中的相对重要性，α为劳动所得在总产量中所占的份额，β为资本所得在总产量中所占的份额。
根据柯布-道格拉斯生产函数中的参数α与β之和，还可以判断规模报酬的情况。若α＋β＞1，则为规模报酬递增；若α＋β＝1，则为规模报酬不变；若α＋β＜1，则为规模报酬递减。
（3）边际产量
答：边际产量是指在生产技术水平和其他投入要素不变的情况下，每增加一个单位可变投入要素所得到的总产量的增加量。例如，在生产中如果只有劳动L是可变投入，则劳动的边际产量可以表示为：
MPL＝ΔQ/ΔL
假设生产函数连续且可导，从而可以用总产量对可变投入量求导得出边际产量，即：MPL＝dQ/dL。这样，在某一产量上的边际产量，就是该产量相对于总产量曲线上一点的斜率。
（4）平均产量
答：平均产量是指平均每单位可变投入生产的产品数量。假定只有劳动是生产中的可变投入，则劳动的平均产量为APL＝Q/L。平均产量曲线一般是一条倒U形曲线；当平均产量低于边际产量时，平均产量随着劳动量的增加而增加；当平均产量高于边际产量时，平均产量随着劳动量的增加而降低；在平均产量曲线的最高点处，平均产量曲线恰好与边际产量曲线相交。平均产量曲线如图4-4中的APL曲线所示。
图4-4 平均产量曲线
（5）生产要素报酬递减
答：生产要素报酬递减是指在技术水平不变的条件下，当把一种可变的生产要素同其他一种或几种不变的生产要素投入到生产过程中，随着这种可变的生产要素投入量的增加，最初每增加一单位生产要素所带来的产量增加量是递增的，但当这种可变要素的投入量增加到一定程度之后，增加一单位生产要素所带来的产量增加量是递减的。技术水平和其他生产要素的投入数量保持不变是生产要素报酬递减规律成立的前提条件。在既定的土地上不断增加劳动投入所引起的边际收益递减的例子，经常作为生产要素报酬递减规律的例证。
从理论上讲，生产要素报酬递减规律成立的原因在于：对于任何产品的短期生产来说，可变要素投入和固定要素投入之间都存在着一个最佳的数量组合比例。在开始时，由于不变要素投入量给定，而可变要素投入量为零，因此，生产要素的投入量远远没有达到最佳的组合比例。随着可变要素投入量的逐渐增加，生产要素的投入量逐步接近最佳的组合比例，相应的可变要素的边际产量呈现出递增的趋势。一旦生产要素的投入量达到最佳的组合比例时，可变要素的边际产量达到最大值。在这一点之后，随着可变要素投入量的继续增加，生产要素的投入量越来越偏离最佳的组合比例，相应的可变要素的边际产量便呈现出递减的趋势了。
（6）等产量曲线
答：等产量曲线指在技术水平不变的条件下生产同一产量的两种生产要素投入量的各种不同组合的轨迹。以Q表示既定的产量水平，则与等产量曲线相对应的生产函数为：
Q＝f（L，K）
等产量曲线具有以下重要特点：①等产量曲线是一条从左上方向右下方倾斜的曲线，具有负斜率。它表示增加一种生产要素的投入量，可以减少另一种生产要素的投入量。只有具有负斜率的等产量曲线，才表示劳动和资本互相替代是有效率的。②坐标图上可以有无数条等产量曲线。它们按产量大小顺次排列，越接近原点的等产量曲线所代表的产量越少，越远离原点的等产量曲线所代表的产量越多。③任何两条等产量曲线不能相交。④等产量曲线凸向原点。它表示随着一种生产要素每增加一个单位，可以替代的另一种生产要素的数量将逐次减少。这一点可由边际技术替代率递减规律来解释。
（7）边际技术替代率
答：边际技术替代率是指在维持产量水平不变的条件下，增加一个单位的某种要素投入数量时要减少的另一种要素的投入数量。以MRTS表示边际技术替代率，ΔK和ΔL分别表示资本投入的变化量和劳动投入的变化量，劳动对资本的边际技术替代率的公式为：
MRTSLK＝－ΔK/ΔL
边际技术替代率具有递减的趋势，即随着劳动投入量的继续增加，每增加1单位劳动所能替代的资本量将越来越少。这是因为，随着劳动替代资本的过程继续进行，劳动数量不断增加，劳动的边际产量必然呈现递减趋势；而资本投入量越来越少，资本的边际产量（表现为每减少一单位资本投入量所减少的产量）就越来越大。这样，在劳动替代资本过程中，边际技术替代率就同劳动的边际产量成正比，同资本的边际产量成反比。边际技术替代率递减规律是由技术因素所决定的普遍规律，由于边际技术替代率递减规律的作用，等产量曲线是一条凸向原点的曲线。
（8）等成本线
答：等成本线是在既定的成本和既定生产要素价格条件下生产者可以购买到的两种生产要素的各种不同数量组合的轨迹。假定要素市场上既定的劳动的价格即工资率为w，既定的资本的价格即利息率为r，厂商既定的成本支出为C，则成本方程为：
C＝wL＋rK
成本方程相对应的等成本线如图4-5所示。
图4-5 等成本线
图4-5中，横轴上的点C/w表示既定的全部成本都购买劳动时的数量，纵轴上的点C/r表示既定的全部成本都购买资本时的数量，连接这两点的线段就是等成本线。它表示既定的全部成本所能购买到劳动和资本数量的各种组合。
（9）扩展线（扩展轨道）
答：扩展线是指在生产要素价格、技术和其他条件不变的假定下，不同产量的等产量曲线与等成本线相切的切点的连线。当厂商增加成本或扩大产量时，厂商的最优投入组合点也随之改变，如果是改变成本就会使等成本线发生平移，如果是改变产量就会使等产量线发生平移。这样就得到了一组等产量线与等成本线相切点的轨迹，该轨迹的连线被称作生产扩展曲线或扩展线。它表示在生产要素价格、技术以及其他条件不变的假定下，当生产成本或产量发生变化时，利润最大化的厂商必然会选择扩展线上的要素投入组合，在这些组合点上，要素的边际技术替代率等于要素的价格比。如图4-6所示，曲线OABCE为扩展线。
图4-6 扩展线
（10）规模报酬
答：规模报酬指企业的生产规模变化与所引起的产量变化之间的关系。企业只有在长期内才可以变动全部生产要素，进而变动生产规模，因此，企业的规模报酬分析属于长期生产理论问题。在生产理论中，通常是以全部的生产要素都以相同的比例发生变化来定义企业的生产规模的变化。相应地，规模报酬变化是指在其他条件不变的情况下，企业内部各种生产要素按相同比例变化时所带来的产量变化。
企业的规模报酬变化可以分为规模报酬递增、规模报酬不变和规模报酬递减三种情况：①规模报酬递增是指产量增加的比例大于各种生产要素增加的比例。例如，当全部的生产要素劳动和资本都增加100%时，产量的增加大于100%。产生规模报酬递增的主要原因是由于企业生产规模扩大所带来的生产效率的提高。②规模报酬不变是指产量增加的比例等于各种生产要素增加的比例。例如，当生产要素劳动和资本都增加100%时，产量也增加100%。③规模报酬递减是指产量增加的比例小于各种生产要素增加的比例。例如，当全部的生产要素劳动和资本都增加100%时，产量的增加小于100%。产生规模报酬递减的主要原因是由于企业生产规模过大，使得生产的各个方面难以得到协调，从而降低了生产效率。
一般说来，企业规模报酬的变化呈现出如下的规律：当企业从最初的很小的生产规模开始逐步扩大的时候，企业面临的是规模报酬递增的阶段。在企业得到了由生产规模扩大所带来的产量递增的全部好处之后，一般会继续扩大生产规模，将生产保持在规模报酬不变的阶段。这个阶段有可能比较长。在这个阶段之后，企业若继续扩大生产规模，就会进入规模报酬递减的阶段。
2规模报酬递增、不变和递减这三种情况与可变比例生产函数的报酬递增、不变和递减的三种情况的区别何在？“规模报酬递增的厂商不可能也会面临要素报酬递减的现象”这个命题是否正确？为什么？
答：规模报酬的递增、不变和递减与可变比例生产函数报酬递增、不变和递减的区别如下：规模报酬问题论及的是厂商的规模本身发生变化时（这里假定为厂房、设备等固定要素和劳动、原材料等可变要素发生了同比例变化），相应的产量是不变、递增还是递减，或者说是厂商根据它的经营规模大小（产销量大小）设计不同的工厂规模；而可变比例生产函数所讨论的则是在该厂的规模已经固定下来，即厂房、设备等固定要素既定不变，可变要素的变化引起的产量（报酬）递增、递减及不变这三种情况。
“规模报酬递增的厂商不可能也会面临要素报酬递减的现象”这个命题是错误的。规模报酬和可变要素报酬是两个不同的概念。规模报酬问题讨论的是一座工厂本身规模发生变化时产量的变化，而可变要素报酬问题论及的则是厂房规模已经固定下来，增加可变要素时相应的产量变化。事实上，当厂商经营规模较大，在给定技术状况下投入要素的效率提高，即规模报酬递增的同时，随着可变要素投入的增加到足以使固定要素得到最有效利用后，继续增加可变要素，总产量的增加同样将会出现递减现象。所以规模报酬递增的厂商也会同时面临要素报酬递减现象。
3说明下列说法是否正确：
（1）假定生产某产品要用两种要素，如果这两种要素价格相等，则该生产者最好就是要用同等数量的这两种要素投入。
（2）两种要素A和B的价格如果相等，则产出量一定时，最低成本支出的要素投入组合将决定于等产量曲线斜率为－1之点。
（3）假定生产X产品使用A、B两种要素，则A的价格下降必导致B的使用量增加。
（4）在要素A和B的当前使用水平上，A的边际产量是3，B的边际产量是2，每单位要素A的价格是5，B的价格是4，由于B是比较便宜的要素，厂商如减少A的使用量而增加B的使用量，社会会以更低的成本生产出同样多产量。
（5）扩大企业规模，可取得规模经济效益，因此，企业规模越大越好。
答：（1）不对。厂商生产一定产量使总成本最小的条件是花费每1元钱购买的两种生产要素所得的边际产量都相等，即MPA/PA＝MPB/PB。当PA等于PB时，均衡的条件是MPA＝MPB，而不是A＝B，其中，A、B分别代表要素A、B的投入量。例如，对于生产函数Q＝f（K，L）＝KL－0.2K2－0.4L2，MPL＝K－0.8L，MPK＝L－0.4K，当PL＝PK时，由厂商均衡条件，MPL＝MPK，即K－0.8L＝L－0.4K，可知K＝97L，K与L的投入量并不相等。
（2）对。产出既定时使成本最小的条件可以写成－dB/dA＝MPA/MPB＝PA/PB。如果PA＝PB，则－dB/dA＝1，即dB/dA＝－1，此均衡点即为等产量曲线上斜率为－1的点。
（3）不对。当A的价格下降时，由于替代效应和产量效应，A的使用量将较前增加，而B的使用量可能增加，可能减少，也可能不变。分析如图4-7所示。
图4-7 A价格下降时要素A与要素B使用量的变化分析
图4-7显示了A价格下降时，等成本线变平缓的情形下要素A和B使用量的变化情况。在图（a）中，A使用量增加的同时B使用量也增加；在图（b）中，A使用量增加而B使用量减少；在图（c）中，A使用量增加而B使用量不变。所以B的使用量一定增加的说法是错误的。
（4）不对。由于MPPB/MPPA＜PB/PA（2/3＜4/5）。这意味着多花1元钱买进B所能增加的产量，小于少花1元钱使用A所减少的产量。也就是说，为了补偿少花1元钱买进A所损失的产量，所需增加使用的B所花费的将大于1元钱，因而增加B使用量而同时减少A使用量将可使总成本增加而产量不变。
（5）不对。尽管扩大企业的规模有可能获得规模经济效应，但是企业的规模并不是越大越好。因为随着企业规模的扩大，企业的管理成本会逐渐增加，从而会使规模扩大带来的经济效益不断减少，最终会导致规模报酬进入递减阶段。
4规模经济与范围经济有何区别？
答：规模经济是指随着生产规模扩大，产品平均成本下降的情况；而范围经济是指有的企业同时生产基本技术和设备相同或相关的多种产品时所拥有的生产和成本的优势。规模经济与范围经济的主要区别在于：
（1）产生的原因不同。规模经济的产生主要是由于投入扩大所导致，规模报酬递增是产生规模经济的原因之一。而范围经济主要是由于产品生产之间的相互作用导致，是指在相同的投入下，由一个单一的企业生产产品比由多个不同的企业分别生产这些产品中的每一个单一产品的产出水平更高，范围经济有多种源泉，可能产生于管理工作的专业化、生产的多种产品都需要相同或类似投入要素时的库存节约，或产生于更好地利用生产设备、有利于联合生产的技术变化。经济学家常常列举金融行业作为范围经济的一个例证，金融行业给客户提供许多种服务，诸如支票存款、借款服务和货币兑换等等。
（2）侧重点不同。规模经济是侧重于经济生产规模的扩大，通过生产要素投入的增加来实现更好的经济效益。而范围经济侧重于生产产品的关联性，是从减小成本和减小风险两个角度出发而生产多种产品，从而获得更好的经济效益。
（3）范围经济并不像规模经济那样与规模报酬有关。规模经济把规模报酬概念作为一个特例而包括在其中，但范围经济没有隐含着任何一种具体形式的规模报酬。
5某厂商使用要素投入为x1和x2，其产量函数为Q＝10x1x2－2x12－8x22，求x1和x2的平均产量函数和边际产量函数。
解：要素投入x1的平均产量函数为：
AP1＝Q/x1＝10x2－2x1－（8x22/x1）
要素投入x1的边际产量函数为：
MP1＝∂Q/∂x1＝10x2－4x1
要素投入x2的平均产量函数为：
AP2＝Q/x2＝10x1－2x12/x2－8x2
要素投入x2的边际产量函数为：
MP2＝∂Q/∂x2＝10x1－16x2
6已知某厂商的生产函数为Q＝L3/8K5/8，又设PL＝3美元，PK＝5美元，试求：
（1）产量Q＝10时的最低成本和使用的L与K的数值；
（2）总成本为160美元时厂商均衡的Q、L与K之值。
解：（1）对于生产函数Q＝L3/8K5/8，可得：
MPL＝（3/8）×L5/8K－5/8
MPK＝（5/8）×L3/8K－3/8
将MPL和MPK代入厂商均衡条件MPL/MPK＝PL/PK，得：
3K5/8L－5/8/（5L3/8K－3/8）＝3/5⇒K＝L
将L＝K代入当产量Q＝10时的生产函数L3/8K5/8＝10，得：
L＝K＝10
则TC＝3L＋5K＝30＋50＝80。
所以，当产量Q＝10时的最低成本支出为80美元，使用的L与K的数量均为10。
（2）同理，由（1）可知，当厂商均衡时，L＝K。将L＝K代入总成本为160美元时的成本函数3L＋5K＝160，得：
K＝L＝20
则Q＝L3/8K5/8＝20。
所以，当成本为160美元时厂商的均衡产量为20，使用的L与K的数量均为20。
7设生产函数为q＝Ax1αx2β，r1、r2为x1和x2的价格，试求该产品的扩展线。
解：对于生产函数q＝Ax1αx2β，要素投入的边际产量分别为：
MP1＝αAx1α－1x2β
MP2＝βAx1αx2β－1
由MP1/MP2＝r1/r2可得：
αAx1α－1x2β/（βAx1αx2β－1）＝αx2/（βx1）＝r1/r2
即：x2＝βr1x1/（αr2）为该产品的扩展线。
8已知生产函数Q＝L2/3K1/3。证明：
（1）该生产规模报酬不变；
（2）受报酬递减规律支配。
证明：（1）由Q＝f（L，K）＝L2/3K1/3，可得：
f（λL，λK）＝（λL）2/3（λK）1/3＝λL2/3K1/3＝λQ
所以，该生产过程规模报酬不变。
（2）假定资本K的投入量不变（用K表示），而L为可变投入量。
对于生产函数Q＝L2/3K1/3有：
MPL＝（2/3）×K1/3L－1/3
又dMPL/dL＝－（2/9）×K1/3L－4/3＜0，这表明，当资本使用量既定时，随着使用的劳动量L的增加，劳动的边际产量是递减的。
同样，MPK＝（1/3）×L2/3K－2/3，dMPK/dK＝－（2/9）×L2/3K－5/3＜0。
这表明，当劳动使用量既定时，随着使用的资本量K的增加，资本的边际产量是递减的。
上述分析表明该生产过程受报酬递减规律的支配。
9设生产函数为Q＝2L0.6K0.2，试问：
（1）该生产函数是否为齐次函数？次数多少？
（2）该生产规模报酬情况？
（3）假如L与K均按其边际产量取得报酬，当L与K取得报酬后有多少价值剩余？
解：（1）由Q＝f（L，K）＝2L0.6K0.2，可得：
f（λL，λK）＝2（λL）0.6（λK）0.2＝2λ0.6L0.6λ0.2K0.2＝2λ0.8L0.6K0.2＝λ0.8Q
所以该生产函数为齐次函数，其次数为0.8。
（2）根据（1）题可知：f（λL，λK）＝λ0.8Q，则该生产函数为规模报酬递减的生产函数。
（3）对于生产函数Q＝2L0.6K0.2，可得：
MPL＝2K0.2×0.6L－0.4＝1.2L－0.4K0.2
MPK＝2L0.6×0.2K－0.8＝0.4L0.6K－0.8
这里的剩余产值是指总产量减去劳动和资本分别按边际产量取得报酬以后的余额，故剩余产值为：
ΔQ＝Q－L×MPL－K×MPK＝2L0.6K0.2－L×1.2L－0.4K0.2－K×0.4L0.6K－0.8＝0.4L0.6K0.2＝0.2Q