第四节 圆轴扭转
一、扭转的概念
在一对大小相等，转向相反，且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用下，杆件上的各个横截面发生相对转动，这种变形称为扭转变形。扭转变形也是杆件的一种基本变形，在工程实际中，受扭转变形的杆件是很多的。如汽车的传动轴，日常生活中常用的螺丝刀。又如图2-47反应釜中的搅拌轴，在轴的上端作用着由电动机所施加的主动力偶mA，它驱使轴转动，而安装在轴下端的板式桨叶则受到物料阻力形成的阻力偶mB作用，当搅拌轴等速旋转时，这两个力偶大小相等、转向相反，且都作用在与轴线垂直的平面内，因而会使搅拌轴发生扭转变形。工程上发生扭转变形的构件大多数是具有圆形或圆环形截面的圆轴，故这里只研究等截面圆轴的扭转变形。
二、圆轴扭转时横截面上的内力
1.外力偶矩的计算
若已知电动机传递的功率Pe和转速n，则电动机给轴的外力偶矩为
M=9.55×103Pe/n （2-23）
式中 M——轴的外力偶矩，N·m；
Pe——轴所传递的功率，kW；
n——轴的转速，r/min。
从式（2-23）可知，在转速一定时力偶矩与功率成正比。但在功率一定的情况下，力偶矩与转速成反比。因此在同一台机器中，高速轴上力矩小，轴可以细些，低速轴上力矩大，轴应该粗些。
2.扭矩的计算
如前所述，图2-47所示的搅拌轴受力情况可以简化为如图2-48所示的受力图，搅拌轴在其两端受到一对大小相等，转向相反的外力偶矩（mA、mB）的作用，这段搅拌轴的横截面上必然产生内力，现用截面法求内力。
图2-47 受扭转的搅拌轴
图2-48 扭转时的内力
假想用n—n截面将圆轴截成两段，以左段为研究对象，在左端作用有力偶矩mA，为保持左段的平衡，在左段n—n截面上必然有右段给左段作用的内力偶矩，这个内力偶矩称为扭矩，用符号“Mn”表示，它与外力偶矩mA相平衡。根据平衡条件
∑M=0 mA-Mn=0
Mn=mA
当轴只受两个（大小相等，转向相反的）外力偶作用而平衡时，在这两个外力偶作用面之间的这段轴内，任意截面上的扭矩是相等的，它等于外力偶矩。
如果轴上受到两个以上的外力偶作用时，同样也可以用截面法求出轴上各截面上的扭矩。在这种情况下，轴上任一截面上的扭矩，在数值上等于截面一侧所有外力偶矩的代数和。
即
Mn=∑M
扭矩的正负按右手螺旋法则确定，即右手四指弯向表示扭矩的转向，当拇指指向截面外侧时，扭矩为正，反之为负。外力偶矩的正负号规定与扭矩相反。
为了形象地表示各截面扭矩的大小和正负，以便分析危险截面，可画出扭矩随截面位置变化的函数图像，这种图像称为扭矩图。其画法与轴力图类同。
三、圆轴扭转时横截面上的应力
通过实验和理论推导得知：圆轴扭转时横截面上只产生剪应力，而横截面上各点剪应力的大小与该点到圆心的距离ρ成正比。在圆心处剪应力为零；在轴表面处剪应力最大，如图2-49所示。
图2-49 扭转剪应力分布规律
横截面上各点剪应力为
（2-24）
最大剪应力为
式中，IP称为横截面对圆心的极惯性矩，对于一定的截面，极惯性矩是个常量，它说明截面的形状和尺寸对扭转刚度的影响。不同形状截面的极惯性矩IP的计算公式见表2-2。
表2-2 截面的IP、Wn计算公式
令Wn=IP/R，称Wn为抗扭截面模量，它说明截面的形状和尺寸对扭转强度的影响。不同形状截面的抗扭截面模量Wn的计算公式见表2-2。所以
（2-25）
四、圆轴扭转时的变形
圆轴扭转时，它的各个截面彼此相对转动。扭转变形常以轴的两端横截面之间相对转过的角度，即扭转角φ表示，如图2-50所示。工程上一般用单位长度的扭转角θ表示扭转变形的程度，即
（2-26）
图2-50 扭转变形
式中，G为材料的剪切弹性模量，它是表示材料抵抗剪切变形能力的量。常用钢材的G为8×104MPa。
GIP称为轴的抗扭刚度，决定于轴的材料与截面的形状与尺寸。轴的GIP越大，扭转角φ就越小，表明抗扭转变形的能力越强。
五、圆轴扭转时的强度和刚度计算
为了保证圆轴扭转时安全地工作，就应该限制轴内危险截面上的最大剪应力不超过材料的许用剪应力。因此圆轴扭转时的强度条件为
（2-27）
式中，Mnmax是轴内危险截面上的最大扭矩；［τ］是材料的许用剪应力。
圆轴受扭转时，除了考虑强度外，有时还应满足刚度要求。例如机床的主轴和丝杠，若扭转变形太大，就会引起剧烈的震动，影响加工工件的质量。因此，对精密机器上的轴，还要限制扭转变形不得超过规定的数值。用许用单位长度上的扭转角［θ］加以限制，即
（2-28）
上式即为圆轴扭转时的刚度条件。
应用扭转的强度条件和刚度条件，可以解决校核强度和刚度、设计截面尺寸、确定许可载荷等三类问题。
［例2-8］ 图2-51（a）为带有搅拌器的反应釜简图，搅拌轴上有两层桨叶，已知电动机功率Pe=22kW，转速n=60r/min，机械效率为η=90%，上下两层阻力不同，各消耗总功率的40%和60%。此轴采用ϕ114mm×6mm的不锈钢管制成，材料的扭转许用剪应力［τ］=60MPa，G=8×104MPa，［θ］=0.5°/m。试校核搅拌轴的强度和刚度。若将此轴改为材料相同的实心轴，试确定其直径，并比较两者用钢量。
图2-51 例2-8附图
解：搅拌轴可简化为如图2-51（b）所示的计算简图。
①外力偶矩计算。
因为机械效率η=90%，故传到搅拌轴上的实际功率为
P=Peη=22×0.9=19.8（kW）
电动机给搅拌轴的主动力偶矩mA为
上层阻力偶矩
下层阻力偶矩
用截面法求1-1，2-2截面上扭矩分别为
Mn1=1.8909（kN·m）
Mn2=mC+mB=1.8909+1.2606=3.1515（kN·m）
最大扭矩在AB段上，其值为Mnmax=3.1515（kN·m）。
②强度校核。
查表2-2得抗扭截面模量为
最大剪应力为
所以搅拌轴的强度足够。
③刚度校核。
查表2-2，空心轴截面的极惯性矩为
IP=π（D4-d4）/32=π（1144-1024）/32=5.95×106（mm4）
由式（2-28）得
所以搅拌轴的刚度也足够。
④求实心轴直径。
如实心轴和空心轴的强度相等和所受的外力偶矩相同，则抗扭截面模量应相等，即
则
⑤空心轴与实心轴用钢量比较。
即在相同情况下空心轴用钢量为实心轴的39.5%，由此可见空心轴省料。因为圆轴扭转时横截面上剪应力分布不均匀，实心轴靠近中心部分剪应力很小，材料的强度远没有被充分利用，如果把这部分材料移到离圆心较远的位置就可以提高材料强度的利用率。