2.6 欠定方程的求解

前面介绍方程时，一直在假设方程的个数与未知数的个数是一致的，这些方程都是正常的方程，本节将探讨异常的方程类型——欠定方程的概念与求解方法。

定义2-11 如果方程的个数等于未知数的个数，则方程称为适定方程（wellposed equation，又称恰定方程）；如果方程的个数少于未知数的个数，则方程称为欠定方程（underdetermined equation）；如果方程的个数大于未知数的个数，则方程称为超定方程（overdetermined equation）。

前面演示的隐式方程f(x,y)=0就是一个常见的欠定方程，如果由ezplot()或fimplicit()函数用图解法求解，则得出的曲线上所有的点都满足原欠定方程，这时，欠定方程有无穷多解。

在一些特殊的场合下，用隐函数绘制函数不能绘制出任何曲线，这时方程可能有个别孤立解。这种情况下也可以考虑采用fsolve()函数直接求解，不过在默认的设置下，fsolve()函数并不能求解方程与未知数个数不同的代数方程，需要将求解算法设置成levenberg-marquardt，即采用Levenberg–Marquardt算法求解欠定方程。如果采用more_sols()函数，也应该作相应的算法设置。本节将通过例子演示具有孤立解的欠定方程求解方法。

例2-45 试求解下面的欠定方程。

解 如果手工求解可以发现，原欠定方程可能分拆成两个独立方程，这样，方程的个数与未知数的个数一致，就可以调用more_sols()类函数直接求解方程。

手工转换的方法带有很多的人为性，因为并不是所有欠定方程都是可以手工拆分的。这里不作这种手工转换，试图直接求解欠定方程。

如果尝试用下面的语句绘制隐函数曲线，在调用过程中没有任何警告信息，但最终不能得到任何曲线，说明方程只可能存在有限个孤立解。

现在可以人为地选择Levenberg–Marquardt算法，再求解欠定方程，经过一段时间的运行，有可能找出该欠定方程所有的9个根。

得出的方程的9个解为(−2.8051,3.1313)、(3,2)、(0.0867,2.8843)、(3.3852,0.0739)、(3.5844,−1.8481)、(−3.7793,−3.2832)、(−0.1280,−1.9537)、(−3.0730,−0.0813)和(−0.2708,−0.9230)，其中，搜索第四个解比较耗时。