第二节 微分和求导
微分和求导在经济学中的运用非常广泛。在本教材中，用得最多的是一元函数与二元函数的求导和微分，而且经济学中求导一般不超过二阶，因此这里重点讲解一元函数和二元函数的一阶导数与二阶导数。
一、一元函数的导数和微分
假设一元函数y=f（x）在x0点的附近（x0-ε,x0+ε）内有定义，当自变量的增量Δx=x-x0→0时，函数值的增量Δy=f（x）-f（x0）与自变量增量比值
的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，并称之为f在x0点的一阶导数（或变化率）。若函数f在定义域内的每一点都可导，便得到一个在定义域上的新函数，记作f′（x）,f′,y′或dy/dx，称为f的导函数，简称导数。函数y=f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义为曲线在点[x0,f（x0）]的切线的斜率。
y=f（x）的微分表示为dy, dy=f′（x）dx。
下面给出经济学中常见函数的导数：
特别地
以下是函数的和、差、积、商的求导法则：
复合函数的求导法则：
反函数的求导法则：
如果y=f（x）的反函数为x=f-1（y），记为x=h（y），则有：
一元函数y=f（x）的一阶导数是求导的基础，必须熟练掌握。接下来，我们讨论一元函数的二阶导数。一元函数的一阶导数实际上也是自变量x的函数，于是对一阶导数再次求导，就可以得到一元函数的二阶导数，我们记为y″,f″（x）, d2y/dx2。
同样，我们可以得到二阶全微分d2y=f″（x）dx2。
直观来看，二阶导数就是变化率的变化率，在曲线上就是斜率的变化率。实际上二阶导数的大小可以用来表征函数或图形的凹凸性。关于函数的凹凸性，后面的章节有专门的介绍。
二、二元函数的导数和微分
（一）一阶偏导数和一阶全微分
设有二元函数y=f（x1, x2），因此y的变化由x1, x2的变化所引起，这时对二元函数求导就有两个导数，我们称为一阶偏导数。具体而言，y对x1的一阶偏导数是指当x2保持不变时，y的变化量Δy与x1的变化量Δx1的比值的极限，记为∂y/∂x1,∂f/∂x1, 
或f1。同理，我们也可以得到y对x2的一阶偏导数，记为∂y/∂x2, ∂f/∂x2, 
或f2。
计算一阶偏导数的方法很简单，只要把其他变量看作常数，剩下的就相当于对相应的自变量求一阶导数。
例1：求函数z=x/y+yln x的偏导数。
解：求z对x的偏导数时，把y看作常数，有
同理有
一阶偏导数在经济学中有很强的经济解释。经济学中边际的概念就是用一阶偏导数来表示的。经济学中边际的概念是指在保持其他条件不变的情况下，自变量的变化对因变量变化的影响，这正好对应着数学中一阶偏导的定义。例如，经济学中的边际效用无非就是效用函数的一阶偏导，资本的边际收益就是总收益函数对资本量的一阶偏导。
偏导数是指其他变量不变时，某个自变量变化对因变量变化的影响。但因变量变化往往是由多个自变量变化所引起的，为了说明这种情况，就有了全微分的概念。二元函数y=f（x1, x2）的全微分为
例2：求例1中函数的全微分。
解：根据例1的结果有
有了二元函数的偏导数和全微分，我们就可以求解隐函数的导数。
设有隐函数F（x, y）=0，实际上这里隐含着y是x的函数，那么y对x的导数为
证明：因为F（x, y）=0
两边求全微分dF（x, y）=0，即
∂F/∂xdx+∂F/∂ydy=0
变形后得到上述结论。
（二）二阶偏导数和二阶全微分
二元函数y=f（x1,x2）的二阶偏导数一共有四个，分别是y对x1的二阶偏导数，记为
或f11;y对x2的二阶偏导数，记为
或f22;y对x1和x2的二阶混合偏导数，记为
, 
或f12;y对x2和x1的二阶混合偏导数，记为
, 
或f21。
杨氏定理：若
和
连续，则两者相等，即
二阶（偏）导数在经济学中都是表示变化率的变化率，在经济学中就可以用二阶（偏）导数来表示边际的变化率，比如用来表示边际效用递减或者边际成本递增等。
我们也可以得到二阶全微分，用d2y表示，代表y的一阶全微分后的再次全微分
证明：dy=∂y/∂x1dx1+∂y/∂x2dx2=f1dx1+f2dx2
根据杨氏定理，最后得到
（三）齐次函数
若函数y=f（x1, x2）对于任意的t＞0，有f（tx1, tx2）=tkf（x1, x2），则称函数y=f（x1, x2）为k次齐次函数。在经济学中，常用的齐次函数为零次齐次函数和一次齐次函数。
齐次函数中有一个很重要的定理——欧拉公式在经济学中非常有用，介绍如下：
欧拉公式：若y=f（x1, x2）是k次齐次函数，则有
f1·x1+f2·x2=k f（x1, x2）
证明：因为f（tx1,tx2）=tkf（x1,x2）
两边同时对t求导，得
令t=1，则上式变为
f1·x1+f2·x2=k f（x1, x2）
当k=1, f1·x1+f2·x2= f（x1, x2）；
当k=0, f1·x1+f2·x2=0。