5.9 半导体隧穿效应与隧穿电流

半导体中载流子的输运，除了漂移、扩散、产生与复合等，还有一种输运现象，即隧穿效应和由其形成的隧穿电流。

与经典力学不同，量子力学认为，微观粒子能以一定的比例穿越势垒。例如，电子能穿越势垒，形成隧穿电流，这就是隧穿效应。

隧穿电流密度I_t可表示为透射系数T与入射电流密度I_t0的乘积，即

隧穿效应所形成的隧穿电流的大小取决于入射电流（单位时间内射入的粒子数量）大小和透射系数。透射系数也称隧穿概率。

入射的电子流的一般表达式为

式中，A为横截面积，n为电子浓度，υ_n为电子速度。

透射系数与势垒宽度、势垒高度和势垒形状等因素有关。通过求解量子力学中的薛定谔波动方程可以获得透射系数。

为了对隧穿效应和透射系数有清晰的了解，在此先讨论电子穿透势垒高度为qV₀、宽度为w的一维矩形势垒的隧穿效应，如图5-19（a）和（b）所示。通过直接求解薛定谔波动方程^[1]，获得透射系数的数学表达式。

设两个孤立半导体之间的距离为Δx，势垒高度为qV₀等于电子亲和能χ，电子在势垒区域内外的行为可由薛定谔方程描述。

在势垒以外的区域（Ⅰ区、Ⅲ区），qV（x）=0，薛定谔波动方程为

式中，m^?为有效质量，?为约化普朗克常量，E为电子的动能，Ψ为电子的波函数。势垒区以外，Ⅰ区的通解为

Ⅲ区的通解为

式中，波矢。

如果将式（5-206）和式（5-207）的两边乘以因子，按第3章3.3节所述，即可知等号右侧前一项的意义是沿x方向传播的平面波，后一项的意义是沿x相反方向传播的平面波。因此，式（5-206）表示x≤0区域振幅为A的入射电子波函数及振幅为B_R的反射波函数，式（5-207）表示x≥Δx区域振幅为C_T的透射电子波函数及振幅为的反射波函数。由于x≥Δx区域没有反射界面，所以没有反射波，。振幅A是已知的。透射波和反射波都是德布罗意波。

由于我们最关心的是透射系数，其定义为

透射系数T的量子力学意义为透过势垒的电子出现的概率与入射的电子出现的概率之比值。

有了透射系数就可以计算隧穿电流。要从上面这些式子导出透射系数T，无须知道入射波振幅的绝对值，所以为了简化计算，令入射电子波函数的振幅A=1，于是B_R和C_T的意义分别转变为反射电子波函数的相对（归一化）振幅B_R和透射电子波函数的相对振幅C_T，透射系数变为（C_T）²。式（5-206）和式（5-207）可写为

在势垒区域的Ⅱ区，势垒高度qV（x）。设势垒区的V（x）=V₀，波动方程为

或

对于E＜qV₀，其解为

式中，

在此，将电子在势垒中的运动用类似于自由粒子那样以平面波来描述。按照量子力学原理，其波矢为虚数（ik′）。k′与电子的动量p′相对应，。这种隧穿模型称为弹道模型。势垒内部的波是按指数形式衰减的，衰减的速率与势垒高度（qV₀-E）和势垒宽度Δx相关。如果势垒宽度足够小，波函数的振幅衰减不到零，就会有一定概率的电子穿过势垒，这就是粒子隧穿。显然这种效应是由粒子的波动性导致的。

穿透一维矩形势垒的波函数示意图如图5-19（c）所示。

根据电子流守恒规律，在x=0及x=Δx处，波函数Ψ和必须满足在势垒边界上的连续性要求，可得边界条件为

由此4个边界条件可得到联系C_T、B_R、G和H的方程式，即在x=0处：

在x=Δx处：

以上4式消去F和G后，得到反射系数|B_R|²：

按照电荷守恒定律，有

式中，为电子的入射速度，为电子穿透势垒后的出射速度。

通常设，于是可得：

将k和k′的表达式代入式（5-224），并考虑到当k′Δx?1，即（qV₀-E）?时，

按照式（5-208），电子穿透势垒的透射系数T可近似地表示为

式中，qV₀＞E。

当电子能量E远小于势垒高度qV₀，E在附近时，

式（5-225）表述了透射系数与隧穿距离Δx、势垒高度qV₀等因素的关系，它随隧穿距离Δx和势垒高度qV₀的增大呈指数形式衰减。为了得到较大的透射系数T，需要减小隧穿距离Δx和降低势垒高度qV₀。

在第6章中，我们将结合半导体pn结击穿现象，针对三角形势垒和其他形状的势垒，采用简单的近似方法，推导透射系数和隧穿电流公式；在第8章中，我们将介绍WKB准经典近似方法求解势垒隧穿公式；在第9章中，我们将进一步讨论MIS结构中的界面态隧穿等物理过程。

深入了解隧穿效应对高效太阳电池的设计有重要意义。