第7节

故事与趣题

孙子定理

孙子定理是我国古代求解一次同余式组的方法，是数论中的一个重要定理，又称中国剩余定理。一元线性同余方程组问题最早可见于南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经·卷下》第二十六题，叫作“物不知数”问题。原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

意思是说：一堆物体，三个三个地数，最后余下两个；五个五个地数，最后余下三个；七个七个地数，最后余下二个。这堆物体有多少个？

小读者们，你们知道怎么计算吗？

首先，列出除以3余2的数：2,5,8,11,14,17,20,23,26, …

然后，列出除以5余3的数：3,8,13,18,23,28, …

在这两列数中，首先出现的公共数是8。3与5的最小公倍数是15。两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8、23、38, …

再列出除以7余2的数：2,9,16,23,30, …

就得出符合题目条件的最小数是23。

除了这种方法，明朝数学家程大位在《算法统宗》一书里用四句诗概括出另一种解法：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝，

七子团圆正半月，

除百零五便得知。

这四句诗的意思就是：用70乘3除所得的余数，21乘5除多得的余数， 15乘7所得的余数，然后3个得数加起来，如果大于105，则减去105，还大再减去105，直到小于105为止，最后得出来的整数就是答案。也就是：

70×2 + 21×3 + 15×2 = 233

233 - 105 = 128

128 - 105 = 23

同学们，你知道方法了吗？

拓展应用

1．有一把蚕豆，假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒，那么，原有蚕豆多少粒呢？

2．一个三位数，被7除余1，被9除余3，被11除余5，这个三位数是多少？

3．韩信率领1 000余名将士迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信率领的士兵有多少人？

4． 一个数，被5除余4，被6除余5，被13除余12，这个数最小是多少？