1.2.1 发掘我们的思维：发明面积
这一节我们通过面积的概念来展示如何发明一个数学概念。面积最简单的形式是长方形的面积。你肯定知道长为l宽为w的长方形面积为lw，不过请先忘掉它。假设我们不知道长方形的面积是长乘以宽。
假设我们大致知道“面积”在非数学的意义上是什么意思。也就是说，我们知道这个词描述的是一个二维物体有多大，但我们不知道如何将这个概念与数学联系起来。我们可以用A作为面积（Area）的缩写，然后写出A=？之类的，但其他的就不知道了。不过，根据我们的日常经验，我们还是知道一些东西：
图1.3 无论“面积”如何定义，如果长方形的宽度加倍长度不变，则面积也应当加倍。
日常经验告诉我们的第一件事情
无论长方形的面积如何定义，肯定都是取决于长方形的长和宽。如果有人将“面积”定义为与长和宽完全无关，则与我们所说的“面积”不是一回事。
我们可以将上面这句话高度浓缩，写成
A（l，w）=？
取代前面的简写A=？。括号里的新玩意的意思是“这多少取决于长和宽，我将其缩写成l和w。其他的我就不知道了。”
请注意这个缩写与前面对机器的缩写很相似。你可以说“我不是在谈论机器，只是在缩写”，也可以将其与机器的缩写联系起来，“如果我们得出了面积的精确描述，应当可以构造一台机器，如果喂给它长方形的长和宽，它就会吐出长方形的面积。我们称这台机器为A。”这两种认识都能让我们达到同样的目的，因此你可以选你喜欢的然后继续。
由于我们是从日常的直观经验开始构建面积的精确数学概念，因此在开始的时候我们没有数字。如果不能从定量的东西开始，就只能从定性的东西开始。虽然没有规则告诉我们该如何做，但我们可以要求精确的概念符合我们的日常认识。基于此，我们可以写下另一个日常的认识：
日常经验告诉我们的第二件事情
无论长方形的“面积”如何定义，如果我们将宽度加倍，让长度保持不变，我们就会得到原来的长方形的两份拷贝，因此面积也应当加倍。如果有人对“面积”的定义没有这样的性质，则不是我们所说的“面积”。
如果不理解，可以参见图1.3。我们对面积的模糊的、直观的、非数学的认识不足以告诉我们长方形的面积是长乘以宽，但可以告诉我们如果宽度加倍（同时长度不变），则面积也应当加倍。我们可以将这个认识缩写为：
A（l，2w）=2A（l，w）。
基于同样的理由，如果长度加倍而宽度不变，则面积也应当加倍。我们可以将其缩写为
A（2l，w）=2A（l，w）。
不仅如此，语句中的“加倍”这个词也可以一般化。如果我们将宽度增大为3倍，则会有3份原来的拷贝，因此面积也应当是原来的3倍。长度也是一样。4倍，或者更多整数倍都是如此。如果不是整数倍呢？例如我们可以将长度从l变成“
”（宽度不变），则会得到
份原来的拷贝，因此面积也应当是原来的
倍。显然，无论面积如何定义，这些语句都抓住了我们的直观认识，无论放大倍数是多少。我们可以将这无穷多条语句缩写为
A（＃l，w）=＃A（l，w） （1.1）
和
A（l，＃w）=＃A（l，w） （1.2）
＃可以是任何数。但如果是这样，我们就可以利用数学技巧来得出长方形的面积，将l写为l·1，然后——
（远处传来一阵声音。）
诶！什么声音？！……是你吗？
读者：嗯……不是我。我觉得是在你那边。
作者：你确定？
读者：是的，肯定是的。
作者：嗯……好吧，我们说到哪了？对了，等式（1.1）和（1.2）告诉我们可以将数字提取到面积机器的外面，无论是什么数。但如果是这样，我们就可以利用一个技巧，将长和宽本身也提取出来！因为它们也是数字。既然l与l·1是一样的，w也与w·1是一样的，我们就可以巧妙地将等式（1.1）和（1.2）作用于l和w本身，就像这样：
也就是说长方形的面积是长乘以宽……乘以另一个东西？这个A（1，1）到底是什么呢？
其实等式（1.3）告诉我们的是单位的概念。它说的是我们可以得出任意长方形的面积，但首先要明确单位长方形的面积，也就是长和宽都为1的长方形（或者其他任何长方形）。如果我们以光年为长度单位，则A（1，1）就是1平方光年的面积。如果长度单位是纳米，则A（1，1）就是1平方纳米的面积。
我们可以令A（1，1）为1，但只是为了方便。如果需要，我们也可以令A（1，1）为27，这样式子就为A（l，w）=27lw。也许看上去有点奇怪，但并没有错。除了令A（1，1）为1或其他的数，我们也可以将等式（1.3）写为如下形式：
这样我们就可以不用关心单位［也就是说不用决定A（1，1）是多少］，但同时也就不能谈论面积本身。这个等式告诉我们某个东西等于长乘以宽，但不是面积，而是面积的比，即你可以在A（l，w）中放多少个A（1，1）。
发明这些之后，我们可以看到数学的确比我们要聪明——不仅告诉了我们单位的概念，还告诉了我们如何将一种单位的面积转换成另一种单位的面积（比如从纳米转换为光年）。在自己发明数学概念的过程中我们还会遇到很多这样的例子，即便是我们很熟悉的简单概念，也能给我们带来更深刻的认识。
不仅如此，我们不难看出，同样的论证对于任意维度都成立。假设我们有一个3维的盒子之类的东西，长、宽、高分别缩写为l、w、h。与面积一样，如果我们将（比如）高度加倍，长和宽保持不变，则我们将得到原来的盒子的两份拷贝，因此体积应当加倍。同前面一样，“加倍”这个词可以一般化，放大任意倍数这个想法依然成立。长和宽也是一样。因此对于3维，对于任意的数＃，以下3个等式都成立，并且3个语句中不用取相同的数：
V（＃l，w，h）=＃V（l，w，h），
V（l，＃w，h）=＃V（l，w，h），
V（l，w，＃h）=＃V（l，w，h）。
与前面一样，我们可以将这3个等式作用于l、w和h本身，得到
V（l，w，h）=lwh·V（1，1，1）。
现在我们可以做更加奇怪而且有趣的事情：我们可以讨论更高维的空间。如果n很大，我们就无法画出n维空间中的事物。谁也做不到。我们甚至不知道“n维空间”是什么意思。但是没关系！我们完全可以说“无论n维空间如何定义，也无论n维版的长方形盒子如何定义，它们最好与它们的2维和3维表兄弟有相似的性质，我们也可以进行相似的论证。如果不是这样，那就不是我所说的n维空间。”有了这些，我们就有把握写出
V（l1，l2，…，ln）=l1l2…ln·V（1，1，…，1），
其中V指的是“n维空间中的体积，”并且我们决定不再像2维和3维那样给不同的方向起不同的名称。可以将它们都缩写为l，然后用不同的数字下缀区分它们（l1，l2，…，ln）。
虽然我们无法画出我们谈论的东西，但还是可以对其进行推断。例如，如果n维盒子形状的东西的所有边的长度都相同（记为l），则这个东西是一个n维立方体。如果我们令V（1，1，…，1）为1（只是为了方便），则可以推断这个高维盒子的“体积”为V=ln。我们可以掌握这个“n维体积”的性质，即便我们无法将其画成图形。
总的来说，通过思考我们对面积的日常认识，并对我们的认识进行缩写，将无穷多个模糊的语句用一句话表达，我们的认识就可以转化成长方形的面积必须为lwA（1，1）。结果我们不仅发现了熟悉的“长乘以宽”公式，数学还提醒了我们忽略的东西：单位的概念。
下面我们用简单的发明来帮助我们理解和图形化一些所谓的“代数法则”，以后不用再去死记硬背。继续前进！