第四章 四维世界

1．时间即第四维

“第四维空间”这个概念通常既神秘莫测又令人疑惑。我们这些只有长度、宽度、高度的生物，怎么敢对四维空间妄加谈论？用我们这些三维的大脑，有可能想象出四维的超空间吗？四维的立方体或球体又会是什么样？当我们“想象”一条拖着鳞光闪闪的长尾巴，鼻里喷出烈焰的巨龙时，或是“想象”一架内部配备游泳池，机翼上装有网球场的超豪华飞机时，其实是在头脑里描绘了一幅心理图画，画面上是这些事物突然出现在自己面前的样子。而这幅图的背景仍是我们熟悉的三维空间，包括你我在内的所有人和事，全都置身于这个背景当中。如果以上就是“想象”一词的含义，那么想要在普通的三维空间背景中想象一个四维的形象，就像是把一个三维物体压进平面一样，根本做不到。不过，先别着急下结论。某种意义上，我们确实可以把一个三维物体压进平面里，那就是把它画到平面当中。不过在这种情况下，我们当然不是依靠液压机或物理上的作用力来完成这项工作，而是采用了几何“投影”或影子构造的方法。看看图24，你就能立刻明白这两种方式（比如说把一匹马压进二维空间）的区别了。

出于同样的道理，我们现在可以说，把一个四维物体完完全全地“压”进三维空间确实无法实现，肯定会有些枝杈留在外面，不过，我们倒是可以谈论各种四维物体在我们这个三维空间里的“投影”。需要记住的是，就像三维物体在平面上的投影是二维的，四维物体在我们空间中的投影也只能呈现出三个维度。

图24 把三维物体“压”进二维空间的方法。左图：不可行；右图：可行。

为了更清楚地理解这个问题，我们先来想一想，一个生活在平面上的二维影子生物会怎样构想三维立方体的概念。这对我们来说非常容易，因为我们是超越二维存在的三维生物，可以从上面（也就是第三个方向上）观察整个二维世界。此前我们说过，要把一个立方体“压”进平面，唯一的办法就是把它像图25上展示的那样，“投射”到平面上。立方体在旋转时，会在平面上呈现出不同的投影：通过观看这些投影，我们的二维朋友至少能对“三维立方体”这个神秘图形的属性有一些基本的认知。他们没有办法“跃出”自己的平面，用我们的方式来观看这些立方体。但只要仔细观察投影，他们也能得出类似“这个立方体有8个顶点、12条边”的结论。现在再来看图26，你会发现人类在遇到四维物体时，和可怜的二维影子生物观察普通立方体投影时的情形完全一样。图上满脸惊诧的一家人正在认真研究的奇特复杂结构，就是四维空间里的超立方体在三维空间里的投影[7]。

图25 二维生物惊讶地看着投射到它们世界里的三维立方体的影子。

仔细观察图26，你会发现，图25中令影子生物感到困惑的某些特征，同样出现在这张图里：立方体在平面上的投影由两个嵌套的四边形组成，它们的顶点两两相连；而超立方体在我们空间中的投影也是由两个嵌套的立方体组成，二者的顶点也以类似的方式相连。数一数不难发现，这个超立方体总共有16个顶点， 32条棱和24个面，真是个神奇的物体。

图26 来自四维空间的访客！一个四维超立方体的正面投影。

下面我们再来看看四维球体是什么样子的。先来看一个大家熟悉的例子，即普通球体在平面上的投影。打比方说，我们把一个上面标着大陆、海洋的透明地球仪投影在白墙上（图27）。投影中两个半球自然会相互重叠，如果单从投影上看，观察者可能会认为从纽约（美国）到北京（中国）的距离很近。但这只是一种直觉，实际上，投影上的每一个点都代表着实际球体上相对的两个点。如果地球仪上有一架从纽约飞往中国的客机，那么在平面投影中，它会一直移动到图形的边缘，然后再移动回来；如果两架客机的投影在平面上相互重叠，只要它们“实际”位于地球仪的不同面上，就不会发生碰撞。

图27 地球仪的平面投影。

这就是普通球体的平面投影属性。只要我们稍作想象，就可以轻松拓展到四维超球体的空间投影上。普通球体的平面投影是两个叠放在一起（点对点）的圆盘，二者仅沿着外圈的圆周连接在一起；那么，超球体的空间投影必然可以被想象成两个相互穿透的球体，而且它们会沿着外表面连接在一起。实际上，这种奇特的构造我们已经在上一章中讨论过了，当时是在找一个类似于封闭球面的封闭三维空间例子。因此，我们在这里只要补充一句就足够了：四维球体的三维投影就是我们此前讨论过的，像连体双胞胎的“双重苹果”——它由两个沿着表皮生长在一起的苹果组成的。

通过类似的类比方式，我们还可以回答许多有关四维图形属性的问题。不过，无论我们多么努力或许都无法“想象”，我们这个物理空间里还有第四个独立的方向。

但是，只要稍加思索，我们就会发现根本不需要把第四个方向想象得那么神秘。我们大多数人每天都在使用的一个词，就可以用来指代，而且实际上也应该被视作物理世界里的第四个独立方向：那就是时间。它常常和空间一起，用来描述我们周围发生的事件。无论是在街上和朋友偶遇，还是谈论遥远恒星的爆炸，我们在聊宇宙里的任何事情时，通常既会说发生的位置，也会说发生的时间。因此，除了用三个方向要素表示我们的空间位置之外，又增加了一个新的要素，那就是时间。

进一步思考这个问题，你会很容易意识到，每一个物体都有四个维度，其中三个是空间维度，还有一个是时间维度。你所住的房子会在长度、宽度、高度和时间上这四个维度上延伸，而我们衡量时间之维的方法，是从房子建成之日开始计起，一直到它最后被烧毁、被公司拆掉或因年久失修而倒塌的那个时间点为止。

当然，时间之维与三个空间维度不尽相同。时间的间隔是用时钟来测量的，嘀嗒嘀嗒表示秒，叮咚叮咚表示小时，而空间的间隔则是用尺子来度量的。我们可以用同一把尺子来测量长、宽、高，但是没法把尺子变成时钟来测量时间的长短。此外，你可以在空间上向前走、向右走、向上走，然后再走回来，但是你不能在时间里回头，它会把你从过去强行拉向未来。不过，尽管时间之维和空间的三个维度存在如此差异，我们仍然可以把时间当作是物理世界中的第四个方向，只要多加留意，记得它们并非完全相同即可。

把时间选为第四个维度之后，我们会发现，本章开头所说的“想象四维物体”这件事简单多了。你还记得四维超立方体的那个奇怪投影吗？它竟然有16个顶点，32条棱，24条边！难怪图26里的一家人都在惊诧地盯着这个几何怪物。

不过，如果以新的视角来看，这个四维立方体就是存在于特定时间段的一个普通立方体而已。假如你在5月7日用12根金属丝做了一个立方体，一个月后又把它给拆掉了，这样一个立方体的每个顶点就可以看成是一条沿着时间方向延伸、长度等于一个月的线。你可以在每个顶点上贴一本小日历，每天翻一页，记录时间的流逝。

图28 用12根金属丝连接5月7日，形成一个立方体。

现在不难数出四维物体中有多少条棱。它在诞生时有12条空间棱，存在过程中有8条“时间棱”表示每个顶点的持续时间，在被拆掉前又有12条空间棱，共计32条。[8]用类似的方法，我们可以数出它一共有16个顶点——5月7日有8个空间顶点，6月7日还是8个空间顶点。要计算出四维物体有多少个面也不难，这个问题就留给各位读者们吧。做这个练习时需要牢记一点，其中一些面是立方体自身具有的普通正方形，而其他的面则是由立方体的棱从5月7日到6月7日，在时间维度上延伸出来的“半空间半时间”的面。

我们此处讨论的四维立方体的属性，当然也适用于任何其他几何体，或是任何有形的物体，无论它是生命体还是非生命体。

特别值得一提的是，你也可以把自己看成是一个四维物体。在时间之维上，你就像是一根长长的橡胶棒，从出生的那一刻开始，一直延伸到自然寿命的尽头。遗憾的是，人们无法在纸上画出四维的东西，所以在图29中，我们试着以二维影子人为例，在垂直于二维平面的方向上，画出时间的第三维，由此传达出类似的观念。这张图只是影子人生命的一小部分。他的整段人生应该用一根更长的橡胶棒来表示：橡胶棒的开端（代表他的婴儿时期）是比较细的，然后，橡胶棒不停地扭动着延伸出去（代表他漫长的生命过程），直到死亡的那一刻保持在一个恒定的形状（因为死人是不会动的），最后再开始解体。

更准确地说，这个四维橡胶棒其实是由许多独立的纤维组成的，每一根纤维又是由独立的原子组成的。在生命的历程中，这些纤维大多是作为整体聚合在一起，只有少数会脱落，比如头发或指甲被剪掉的时候。由于原子是不灭的，人体死后的分解其实可以被看作是独立的纤维细丝向各个方向分散出去的过程（构成骨骼的纤维可能是个例外）。

图29 四维空间中影子人生命的一小部分。

如果我们使用四维时空几何学的语言，那么每个物质粒子的历史线就叫作它的“世界线”。同样的思路，由一组世界线组成的复合体就叫作“世界带”。

图30 太阳、地球以及彗星各自的世界线。

图30中，我们举了一个天文学的例子，展现了太阳、地球以及一颗彗星各自的世界线[9]。和之前影子人的例子一样，我们选取了一个二维空间（图中的平面是地球公转轨道）和垂直于它的时间轴。图中太阳的世界线用一条平行于时间轴的直线来表示，这是因为我们把太阳视为不动的参照系[10]。地球的公转轨道非常接近圆形，所以地球的世界线是一根绕着太阳线上升的螺旋线，而彗星的世界线一度很接近太阳线，随后又远离了它。

以四维时空几何学的视角，宇宙的形态及其历史融合成了一幅和谐的图景，而我们所要考察的，就是一束缠绕在一起，各自代表着每个原子、每个动物或是每个星体的世界线。