1.3.2 性能集成开发的理论基础

多学科设计优化技术是汽车性能集成开发的重要工具。多学科设计优化涉及灵敏度分析技术、近似模型技术、多学科设计优化算法以及多学科设计优化策略等关键技术。以下简要介绍多学科设计优化的各关键技术及其理论基础。

1.灵敏度分析技术及其理论基础

灵敏度分析是多学科优化设计中的重要研究内容之一。从本质上说，灵敏度是响应值对设计变量的导数，也可将灵敏度理解为目标函数对其参数的导数。因此，设计灵敏度就是设计响应对优化变量的偏导数。

灵敏度分析常用的有直接法与伴随变量法。

对于有限元方程：

两边同时对设计变量X求偏导数：

则对位移向量U的偏导数为

通常来说，设计响应是位移向量U的函数：

因此，设计响应对设计变量的偏导数：

上述求解方法称为直接法。直接法适用于设计约束较多但设计变量较少的优化问题，例如针对形状优化和尺寸优化的灵敏度求解。

对于设计约束较少而设计变量较多的优化问题，比如拓扑优化和形貌优化，在计算这类问题的灵敏度时可以引入伴随变量E。伴随变量E应当满足：

从而使得

这种方法叫作伴随变量法。

灵敏度分析具有以下特点：①灵敏度可以为正，也可以为负。②在比较质量、位移、频率等性能的灵敏度时，需要考虑单位量纲统一。同样，设计变量的单位（厚度、弹性模型等）也要考虑量纲统一。③对于某些响应灵敏度，大型组件可能具有比其他组件更高的灵敏度。

2.近似模型技术及其理论基础

近似模型方法又叫代理模型方法，其本质是利用已知样本点，通过数学手段生成数学模型，能够反映设计变量与响应值之间的映射关系。代理模型方法有许多种，常用的包括：多项式响应面（Polynomial Response Surface Method, PRSM）、移动最小二乘法（Moving Least Squares Method, MLSM）、Kriging模型（Kriging Model, KM）、径向基函数（Radial Basis Function, RBF）和BP神经网络（BP Neural Network, BPN）。下面将以多项式响应面代理模型为例进行介绍。

多项式响应面代理模型技术是一种采用统计学回归分析来进行函数拟合的近似方法。工程中最常用的二次响应面的数学表达式如下：

式中，n_v为设计变量的维数；待定系数β₀、β_i、β_ii、β_ij由最小二乘回归确定，其矩阵形式如式（1-9）所示：

式中，β是待定系数向量，其维数为（n_v+1）（n_v+2）/2；X是与构造样本点相关的设计变量矩阵；y是构造样本点中响应值组成的n_s维列向量。为了求解β，构造样本点的个数n_s应该不小于（n_v+1）（n_v+2）/2。构造过程中，通过回归系数显著性检验，可以发现并且去除回归模型中的多余项，重新建立形式更新、更简单、精度更高的多项式响应面模型。

3.多学科设计优化算法

多学科设计优化算法是多学科设计优化技术中的一项重要研究内容，常见的多学科设计优化算法及其特点见表1-2。

下面将以可行方向法为例，介绍其理论基础。

设非线性约束优化问题为

可行方向法从任一可行点x_k，找一个可行方向p_k，沿p_k移动一段距离λ_kp_k，得到新设计点x_k+1：

若要使x_k和x_k+1都在可行域内，同时使目标函数下降，对移动方向的要求为

式（1-12）使目标函数下降，式（1-13）保证x_k+1位于可行域内，可行方向的搜索过程如图1-2所示。式（1-12）和式（1-13）分别可改写为

β为某一正数，在满足式（1-15）、式（1-16）的前提下，β越大，目标函数下降更快，所得的搜索方向p_k更有效。设β为辅助变量，求解式（1-17）中的线性规划问题，使β最大的方向，即当前点x_k处的可行方向p_k。

搜索过程中，在可行方向p_k上移动的距离由步长λ_k决定。为了保证x_k+1处于可行域内，通过一维搜索确定λ_k时需要对搜索区间加以限定，即λ_k∈［0,λ_max］。其中λ_max为确保x_k+1可行性的最大步长。

可行方向法的关键在于确定可行方向p_k和沿该方向的移步长λ_k。可行方向法的优点是可以在优化过程中降低目标函数值，同时也能够保证优化过程始终在可行域内进行，优化效率较高。其最大的缺点在于要求初始点可行。对于一些较为复杂的工程问题，选择可行初始点往往不是一件容易的事情。

4.多学科设计优化策略

多学科优化策略（MDO Strategy）又称为多学科优化方法（MDO Approach/Method）或多学科优化过程（MDO Procedure），主要研究多学科问题的分解和组织形式，是MDO的核心技术，也是MDO领域最活跃、研究成果最多的研究方向。

MDO策略的主要思想是将庞大且难以处理的复杂系统优化设计问题分解为多个组织形式简单、求解容易的子问题，然后对各个子问题分别优化求解，并对各子学科的优化进行合理的协调，最终获得原问题的最优解。由于分解后的子问题可以充分利用并行工程的思想，实现分布式并行求解，因此，MDO策略能够有效地提高复杂系统多学科设计优化的效率。

MDO策略可分为单级MDO策略和多级MDO策略两大类。

单级优化策略主要包括多学科可行法（Multidisciplinary Feasible, MDF或All-in-One, AIO）、单学科可行法（Individual Discipline Feasible, IDF）以及同时分析与设计法（Simultaneous Analysis and Design, SAND或All-at-Once, AAO）。单级MDO策略只会进行学科内部的分析，优化任务由系统级优化器完成（MDF的计算流程如图1-3所示）。单级MDO策略的优点是实现简单且能够保证系统优化的收敛性，其缺点是优化效率会随着MDO问题的规模增加而降低。

多级MDO策略是将复杂的MDO问题按照学科分解为若干个相对简单的子优化问题，各学科分别进行优化，最终通过系统级优化进行协调。常见的多级MDO策略包括并行子空间优化（Concurrent Subspace Optimization, CSSO）、协同优化（Collaborative Optimization, CO）、二级集成系统综合（Bi-Level Integrated System Synthesis, BLISS）、解析目标分解（Analytic Target Cascading, ATC）等。图1-4展示了协同优化的分析流程。