1.1 SUV侧翻动力学模型

1.1.1 单自由度侧倾动力学模型

侧倾运动是导致侧翻事故发生的主因，建立一个适当的模型来描述侧倾运动是研究车辆侧翻的基础。因此，研究者提出了描述汽车侧倾运动的单自由度侧倾模型［1］。虽然单自由度侧倾模型忽略了轮胎等非簧载质量对侧倾的影响，但它包含了影响车辆侧倾稳定性的主要参数，如簧载质量、侧倾中心、悬架侧倾性能，并可用于描述车辆侧倾动力学的主要特征。因此，单自由度模型是研究和分析车辆侧倾的基础。单自由度侧倾动力学模型只有侧倾运动一个自由度，如图1.1所示。

整车质量为m，绕CG的侧倾转动惯量为Ix，左右悬架距离为ls，簧载质量质心距侧倾中心的距离为hR，车辆侧向加速度为ay，左、右悬架作用力分别是Fsl和Fsr，总的侧向轮胎力为Flat。根据车辆侧向动力学有：

应指出达朗贝尔力Fy施加在图1.1所示的车辆质心CG处，车辆为准静态系统。对O点取矩，侧向动力学方程写为：

悬架作用力Fsl和Fsr分别作用在两侧的悬架弹簧上，如图1.2所示。由侧倾导致的作用在左侧的簧载变化量如下：

作用在右侧的簧载变化量：

而且，动态悬架作用力为：

由式（1.5）得：

将式（1.6）代入式（1.2）得：

式（1.7）没有考虑阻尼力。考虑悬架阻尼与刚度的侧向动力学参考式为：

这里的侧倾动力学是基于具有侧向加速度项ay的侧向动力学。通过简化根据侧向轮胎力和侧向动力学建立的扩展项，可以避免侧倾运动的侧向运动的复杂耦合项。此外，应假定变量ay可测，为已知输入。

不考虑侧倾角，左右轮胎作用于路面的静态力是mg/2，作用于路面的全部轮胎力（包括动态力和静态力）为：

悬架作用力方向按下述方法给出。

在单自由度模型的推导中，假设悬架作用力总是垂直作用在簧载质量上，如图1.1所示，式（1.11）给出了簧载质量的侧倾运动：

悬架作用力总是作用在垂直方向，如图1.3所示。

此时，簧载质量的侧向动力学如式（1.12）：

因为：

Fsl+Fsr=mg

所以：

因此，式（1.11）与式（1.13）的主要差别在于重力项系数中用hs代替hR，两个模型其余部分均相似。

为了进一步说明单自由度车辆侧倾模型中的输入-输出关系，解式（1.13）非齐次线性微分方程得到ay-φ映射关系，如图1.4所示。显然，侧向加速度的绝对值越大，侧倾角越大。

1.1.2 横向-横摆-侧倾耦合动力学模型

对于曲线运动引起的侧翻，造成汽车侧翻的主要因素是离心力，这个力的大小与汽车的速度、转向特性、轮胎的侧偏特性等有关。因此，为了能更全面地分析汽车侧翻特性与汽车各部件参数之间的关系，需要建立汽车的侧向动力学模型。最简单的汽车侧向动力学模型为二自由度模型，也称为“自行车”模型［2-3］，如图1.5所示。该模型可以用来研究汽车侧向动力学因素对汽车操纵稳定性的影响，包括轮胎的侧偏特性，轮胎与路面的附着力系数，汽车质心位置以及汽车结构参数等。简单的汽车侧向动力学模型是研究汽车曲线运动的基础，结合汽车侧倾平面模型，可以建立研究汽车侧翻动力学规律的三自由度汽车侧倾模型。

三自由度汽车侧倾模型［4，5］是研究汽车侧倾运动的最为基础的模型。该模型由“自行车”模型和侧倾平面模型组成，包括汽车横向运动、横摆运动以及侧倾运动，如图1.6所示。运用理论力学可以得到这三个自由度方向反映的汽车侧翻运动特性的数学模型，根据数学模型可以分析汽车侧翻指标，以及汽车结构参数和随机因素对侧倾运动的影响。由于该模型简单，对汽车侧倾特性的研究又具有很重要的价值，因此，该模型成为应用集中质量模型进行汽车侧翻研究的基础。

1.动力学分析

三个自由度为车辆的横向、横摆、侧倾运动，必须注意的是，为了简化理论研究的需要，建立数学模型时应做如下假设：

1）忽略汽车的纵向动力学特征。汽车做稳态转向，故不考虑纵向运动的影响。

2）忽略汽车垂向和俯仰方向的动力学特性，其中轮胎和悬架的垂向刚度和阻尼通过简化计算等效为侧倾刚度和阻尼。

3）不考虑侧向风的影响，忽略其作用力的大小和方向。

4）忽略悬架及轮胎的非线性因素。

5）假设汽车左右轮动力学关于x轴对称。

6）忽略非簧载质量以及前后轴不同特性对汽车侧翻特性的影响。

7）假设侧倾角很小，横向速度以及横摆角速度相对车速很小，均可做线性化处理。

8）在轮胎相对汽车转角很小的情况下，汽车质心位置的纵向前进速度u近似为一个常数。

根据上述假设，考虑三个自由度之间的耦合影响，根据达朗贝尔原理分别列出侧向运动的力平衡、横摆运动的力矩平衡，以及侧倾运动的力矩平衡关系式。

整车侧向力平衡：考虑簧载质量侧倾方向的耦合以及较大的前轮转角影响，可以得到：

整车横摆力矩平衡：忽略侧倾与横摆方向的转动惯性积的影响，列出绕z轴的力矩平衡方程可得：

簧载质量侧倾力矩平衡：忽略非簧载质量以及前后轴不同特性对侧翻的影响，列出簧载质量绕x轴的力矩平衡方程可得：

根据汽车理论［6］，汽车横向加速度由横向速度的导数和车速与横摆角速度的乘积两部分构成，即：

式中 m——汽车质量；

r——汽车的横摆角速度；

ms——汽车的簧载质量；

g——重力加速度；

Iz——汽车绕z轴的转动惯量；

Ix——汽车绕侧倾中心的转动惯量；

cφ——悬架的等效侧倾阻尼；

kφ——悬架的等效侧倾刚度；

u、v——分别为车辆坐标系中纵向和侧向速度；

a、b——分别为质心到前后轴的距离；

δ——前轮转角；

φ——簧载质量侧倾角；

h——汽车簧载质量重心的高度；

Ff、Fr——分别为前后轮侧向力。

轮胎与地面的接触力可分解为侧向力和纵向力。纵向力可以满足汽车前进和制动的需要，侧向力提供汽车转向所需的动力，是影响汽车侧滑、甩尾以及侧翻的主要作用力。在进行汽车侧翻研究时，需要建立轮胎的侧向动力学模型，图1.7所示为前轮侧向力与速度及前轮转角的关系图。

为了简化汽车侧翻动力学特性的理论研究，忽略轮胎侧偏力中非线性因素的影响。由坐标系规定可知，负的侧向力与正的轮胎侧偏角对应，因此得到汽车前后轮的线性侧向力模型为：

式中 kf——前轮侧偏刚度；

kr——后轮侧偏刚度。

根据图1.6中的矢量几何关系可以得到前轮的轮胎侧偏角为：

对于只有前轮转向的汽车而言，后轮的轮胎侧偏角为：

应该指出，式（1.14）和式（1.15）中的轮胎侧偏角是根据几何关系推导而得的。汽车在实际转弯行驶时，即使方向盘转角固定不动，由于簧载质量侧倾会使得悬架导向杆系和转向杆系的运动变形。此时，车轮会绕主销有小角度的转动，从而引起轮胎侧偏角发生变化。同时，车轮行驶时并不是严格垂直地面的，设计时车轮相对于地面垂直平面存在一定的外倾角，当簧载质量侧倾时，车轮外倾角发生变化，也会引起轮胎侧偏角的变化。因此，在研究汽车侧翻时，需要考虑簧载质量侧倾后各种因素对轮胎侧偏角的影响，并对式（1.19）和式（1.20）加以修正。

定义前后轮等效侧偏刚度为：

把式（1.18）及式（1.21）代入式（1.5）可得汽车侧翻系统微分方程为：

由于在上述建模过程中对轮胎侧偏力做了线性化假设，因此式（1.22）是一组线性常微分方程。

在现代控制理论中，通常采用状态空间法来描述受控系统的输入-状态-输出关系。对于式（1.8）所描述的三自由度汽车侧翻系统，其状态空间本应为6维。但是，如果注意到式（1.22）中前两个方程是横向速度v及横摆角速度r的一阶微分方程，即该系统的状态微分方程组已具有两个独立的首次积分，因此系统状态空间可缩减为4维。取系统的状态变量为：

代入式（1.6）并简化，得到系统的状态方程为：

其中：

2.仿真结果

为了进一步说明三自由度车辆侧倾模型中的输入-输出关系，通过搭建Simulimk模型，给定方向盘转角输入，得到侧向、横摆及侧倾方向的参数输出。根据式（1.22），搭建Simulink模型如图1.8所示，其他车辆参数设置见表1.1。分别选择典型侧翻工况J-turn工况（阶跃工况）、Fish-hook工况（鱼钩工况）与Double Lane Change工况（双移线工况）进行仿真。方向盘转角输入分别如图1.9、图1.11、图1.13所示。同时，图1.10、图1.12与图1.14分别给出了三种工况下侧倾角、侧倾角速度、横摆角速度与侧向加速度的仿真输出结果。

（1）J-turn工况

J-turn工况下设置车速为80km/h，方向盘转角为90°，方向盘角速度为450°/s。从图1.10可知，在该工况下，当输入方向盘转角后，侧倾角与横摆角持续增加，直至到达稳定状态，而侧倾角速度与侧向加速度在转角输入后的1s内到达峰值，之后小幅振荡，后在t=4s后恢复0值。

（2）Fish-hook工况

Fish-hook工况下同样设置车速为80km/h，方向盘转角为90°，方向盘角速度为450°/s。从图1.12可知，在该工况下，当输入方向盘转角后，侧倾角与横摆角在短时间内到达峰值，之后迅速向反方向变化，在t=4s后到达稳定状态，而侧倾角速度与侧向加速度同样在转角输入后的1s内到达峰值，之后反向增加，在t=4s后恢复0值。

（3）Double Lane Change工况

Double Lane Change工况下设置车速为80km/h，方向盘转角为45°，方向盘角速度为50°/s。从图1.14可知，在该工况下，当输入方向盘转角后，侧倾角与横摆角均处于振荡状态，且趋势相同。

1.1.3 纵向-横向-横摆-侧倾耦合动力学模型

为了更加真实和准确地反映汽车的行驶状态，在考虑对模型尽量简化的基础上，综合考虑车辆纵向、横向、横摆和侧倾运动，建立四自由度的车辆动力学模型［7］。

1.动力学分析

为了简化理论研究的需要，建立四自由度车辆动力学模型时必须做如下假设：

1）坐标系原点和汽车的质心重合。

2）不考虑汽车的俯仰运动和垂直运动。

3）不考虑空气阻力的影响。

4）各轮胎侧偏特性相同。

5）忽略传动系的影响，直接以前轮转角进行控制。

6）将悬架简化为等效阻尼器和抗侧倾弹簧。

基于以上假设对车辆模型进行简化，车身质点为车身坐标系原点o，车辆正前方指向车身x轴，y轴为车辆横向，z轴满足右手定则，z轴方向垂直于oxy平面，指向车身上方，则可以把车辆简化成一个考虑纵向-横向-横摆-侧倾的四自由度模型，如图1.15所示，图1.15a为俯视图，图1.15b为正视图。

纵向力平衡方程：

侧向力平衡方程：

横摆力矩平衡方程：

侧倾力矩平衡方程：

其中，车辆受到的外力分别为：

纵向外力：

侧向外力：

横摆力矩：

侧倾力矩：

纵向加速度ax可表示为：

侧向加速度ay可表示为：

质心侧偏角β可表示为：

式中 m——整车质量；

ms——簧载质量；

Fx 1、Fx2、Fx3、Fx4——分别为四个车轮受到的x方向的力；

Fy 1、Fy2、Fy3、Fy4——分别为四个车轮受到的y方向的力；

Ix——簧载质量绕x轴的转动惯量；

Iz——整车质量绕z轴的转动惯量；

Ixz——簧载质量绕x轴、z轴的惯性积；

u、v——分别为质心处纵向速度与侧向速度；

ax、ay——分别为质心处纵向加速度和侧向加速度；

ωr——横摆角速度；

ha——侧倾力臂；

φ、——分别为簧载质量侧倾角与侧倾角速度；

cϕ、kϕ——分别为侧倾阻尼系数和侧倾刚度系数；

a、b——分别为质心到前轴、后轴的距离；

T——轮距。

2.仿真结果

为了进一步说明四自由度车辆侧倾模型中的输入-输出关系，分别在给定纵向车速80km/h与方向盘转角90°的J-turn工况下，通过在Simulink中搭建模型，对输出参数如侧倾角、侧倾角速度、横摆角速度及侧向加速度进行对比，车辆参数见表1.1，仿真结果如图1.16、图1.17所示。由图1.16可知，给定纵向速度情况下，φ、、r、ay与方向盘转角（前轮转角）输入成正相关，也就是说，在该工况下，方向盘转角输入越大，车辆发生侧翻危险的可能性越大，在实际驾驶过程中应尽量避免这样的操作。从图1.17同理可知，在给定方向盘转角的情况下，纵向车速越大，φ、、r、ay的绝对值越大，即高速行驶的工况下进行急速转向操作时，发生侧翻的可能性很大，是很危险的行驶工况。

1.1.4 垂向-横向-横摆-侧倾耦合动力学模型

研究部分绊倒性侧翻问题时，考虑到来自路面的垂向激励及转向系和悬架在侧倾时产生的变形，研究者建立了考虑垂向-横向-横摆-侧倾耦合运动的六自由度［8］侧倾动力学模型，如图1.18所示。

六个自由度为簧载质量的侧向运动、横摆运动、侧倾运动及垂向运动，两个非簧载质量的垂向运动。需要注意的是，在建立简化模型时，必须做如下假设：忽略车辆的俯仰运动，前、后转向角很小，轮胎特性视为关于x轴对称，且侧向风、车辆纵向运动及非簧载质量的侧倾运动均忽略不计。

1.动力学分析

根据达朗贝尔原理得到侧向和横摆运动微分方程。

侧向运动：

汽车质心位置横向加速度为：

横摆运动：

而左右侧悬架力可由式（1.38）、式（1.39）得出：

式中 kφ1、kφ2——分别为左/右悬架等效刚度；

cφ 1、cφ2——分别为左/右悬架等效阻尼系数。

簧载质量的侧倾运动有两种表达方式。

（1）假设悬架力始终竖直方向作用于簧载质量块

如图1.19所示，则簧载质量侧倾运动可以由式（1.40）得到：

简化得到：

（2）假设悬架力始终作用垂直于所述簧载质量块

如图1.20所示，则从簧载质量块侧倾运动可得：

可以看出，这两种模型十分相似。式（1.41）和式（1.42）之间的主要差别在重力项的系数hs和h。由于hs和h不完全已知，因此两个模型之间的差异很小。为简单起见，将使用式（1.42）描述簧载质量的侧倾运动。

在典型工况下，侧倾运动的侧倾角很小，可进行线性化处理，即sinφ≈φ、cosφ≈1。式（1.42）可以简化为：

即：

其中：

簧载质量块的垂向运动：

非簧载质量的垂向运动：

由式（1.35）~式（1.48）可得，汽车六个自由度的运动微分方程为：

式中 a和b——分别为前轴、后轴到质心的距离；

m——整车质量；

ms——簧载质量；

mus 1、mus2——分别为左/右非簧载质量；

T——轮距宽度；

Ix——簧载质量绕侧倾中心转动惯量；

Iz——横摆转动惯量；

u——车速；

r——横摆角速度；

φ——侧倾角；

kt 1、kt2——分别为左/右轮垂向等效刚度；

zs——簧载质量垂向位移；

zu 1、zu2——分别为左/右非簧载质量垂向位移；

zr 1、zr2——分别为左/右车轮的路面输入；

ay——横向加速度；

Fsl、Fsr——分别为左/右悬架垂向力；

Mb——车轮制动产生的力矩。

簧载质量左右侧垂向位移可由式（1.50）得到：

式中 sinφ≈φ，则簧载质量垂向运动与侧倾运动耦合关系可表示为：

即：

其中：

轮胎与地面接触的侧向力是提供汽车转向的动力，也是影响汽车侧翻的作用力。考虑侧倾转向、侧倾外倾、变形转向，以及变形外倾对轮胎侧向特性的影响，进行线性化处理后，可得前后轮的侧偏角及侧偏力：

式中 δ——前轮转角；

cf、cr——分别为侧倾外倾和侧倾转向对前/后车轮侧偏特性的影响系数；

cf 1、cr1——分别为悬架变形外倾和变形转向对前/后车轮侧偏特性的影响系数。

根据式（1.54）~式（1.55）定义前后轮等效侧偏刚度：

令z=［zs φ zu1zu2］T，wd=［zr1zr2δ］T为外部干扰，整理式（1.49）~式（1.57）可得：

其中：

选取状态变量，可得到汽车侧翻动力学模型的状态空间方程为：

其中：

2.仿真结果

为了进一步说明垂向-横向-横摆-侧倾六自由度耦合动力学模型中的输入—输出关系，通过在Simulink中搭建模型，车辆参数见表1.1。分别选择J-turn工况与绊倒型工况（轮胎垂向激励），给出输出参数如侧倾角、侧倾角速度、横摆角速度、侧向加速度。首先是J-turn工况，给定纵向车速80km/h与方向盘转角90°，输出参数结果如图1.21所示。

给轮胎输入垂向载荷（图1.22a），模拟车辆直行过程中路面激励输入，设定纵向车速80km/h，结果如图1.22b~g所示。

1.1.5 轮毂电机汽车侧翻动力学模型

基于四轮独立的轮毂电机驱动的电动汽车，驱动力矩可控、转矩转速易于测得，可实现防侧滑、防侧翻、差动助力转向等多种功能，从而极大提升了汽车的操作稳定性和行驶安全性［9］。轮毂电机驱动电动汽车时，电机定子与悬架系统刚性连接，车轮驱动力反作用力和力矩直接作用于悬架，在不平整路面上，悬架弹簧被压缩且势能被累积，车辆行驶一定距离后，悬架压缩势能释放，可与车体和车轮的运动耦合，转化为侧翻动能。研究轮毂电机驱动电动汽车的侧翻稳定性具有重要意义。

1.侧翻动力学模型

针对轮毂电机驱动电动汽车四轮独立运动这一特性，陈国钰等［10］考虑汽车侧倾方向运动与横向运动、横摆运动及纵向运动之间的耦合关系，忽略垂向运动及俯仰运动的影响，忽略非簧载质量侧倾及侧向风影响，建立包括横向、纵向、横摆、侧倾、车轮旋转在内的八自由度电动汽车侧翻动力学模型，如图1.23所示。

如图1.23所描述，应用达朗贝尔原理可得汽车横向运动、纵向运动、横摆运动、侧倾运动、车轮旋转转动的运动方程依次如下：

整车横向运动：

整车纵向运动：

整车横摆运动：

整车侧倾运动：

车轮旋转运动：

式中 i=1、2、3、4——分别为车轮左前、右前、左后及右后的序号；

Fxi、Fyi、Fzi——分别为车轮承受的纵向、横向、垂向力；

ωi——车轮转速；

Mbi——车轮制动力矩；

v——侧向速度；

Ji——车轮转动惯量；

Tdi——驱动力矩；

μ 0——滚动阻力系数；

Ri——车轮半径。

2.悬架模型

传统汽车的悬架通过半轴和车轮相连，相对独立。但对于轮毂电机驱动的电动汽车，悬架和电机定子刚性连接，悬架力不仅包括来自弹簧和阻尼的作用力，还包括行驶过程中的驱动力和制动力矩引起的反作用力，反作用力和力矩直接作用于悬架，并通过悬架作用于车身。因此，分析轮毂电机驱动电动汽车的非簧载质量对车辆侧翻稳定性的影响时，需要建立独立悬架模型。

悬架的弹簧阻尼力如下：

式中 Fsi——悬架产生的弹簧阻尼力；

zui——非簧载质量的垂向位移；

zs——簧载质量垂向位移；

Kf、Kr——前后悬架刚度；

Cf、Cr——前后悬架阻尼；

L——轴距；

θ——俯仰角。

3.车轮模型

根据车轮旋转运动方程和悬架模型可得车轮垂向动力学方程：

式中 mui——各个轮毂电机质量；

Kui、Cui——各轮轮胎的垂向刚度与阻尼；

zri——路面激励；

wri——各车轮接触路面的不平度变化率；

wui——各车轮的垂直速度。

可知，在稳定行驶工况任意时刻各轮垂直载荷为：

式（1.66）中Fzi′——各车轮的初始垂直载荷，其值为：

4.仿真结果

为验证所建数学模型的正确性，在Simulink搭建分布式驱动电动汽车联合仿真模型。考虑汽车操纵稳定性测试常用的试验工况，分别取高附着系数路面Fish-hook工况和低附着系数路面J-turn工况进行模型验证。整车模型的主要参数如表1.1所示。

首先是Fish-hook工况，车辆在μ=0.20的低附着系数路面上行驶，设定速度为80km/h，方向盘转角设置如图1.24a所示，最大为80°。此时，忽略电机模型输出的静态误差、车轮跳动产生的定位参数误差，以及侧向风的作用，得到横摆角速度、质心侧偏角、车辆行驶轨迹输出结果图，如图1.24所示。

第二种工况为J-turn工况，车辆在μ=0.85的高附着系数路面上行驶，设定速度为80km/h，方向盘转角设置如图1.25a所示。此时，忽略电机模型输出的静态误差、车轮跳动产生的定位参数误差，以及侧向风的作用。车轮转矩通过PID控制器获得后，平均分配给各车轮，得到横摆角速度、质心侧偏角、车辆行驶轨迹等对比图，如图1.25所示。

1.1.6 分布式驱动电动汽车侧翻动力学模型

考虑到整车的纵向、侧向、横摆运动，簧载质量的垂向、俯仰和侧倾运动，以及车轮的旋转和垂向跳动，钱飙建立了十四自由度的车辆模型，如图1.26所示。建模时并非所有的车辆参数都被考虑，为了研究问题的方便，对车辆模型进行了如下假设：

1）忽略低速时对车辆运动影响较小的空气阻力的影响。

2）车轮的运动只考虑其垂向运动和旋转运动。

3）忽略转向系统影响，同时认为左右车轮特性一致。

4）假设车辆质心到前后轴的距离保持不变。

5）忽略车辆簧载质量存在的不均匀分布，假设其质量关于X轴对称。

6）将整车看成三个部分：簧载质量（车身）、非簧载质量、悬架系统。

1.侧翻动力学模型

根据达朗贝尔原理，车身的运动描述为以下微分方程组。其中，i=1、2、3、4，分别代表左前、右前、左后、右后。

车辆纵向运动方程表示为：

车辆侧向运动方程表示为：

车辆簧载质量在其质心处的垂向运动方程表示为：

车辆侧倾运动方程表示为：

车辆俯仰运动方程表示为：

车辆横摆运动方程表示为：

其中，车辆纵向加速度和侧向加速度ax、ay表示为：

在车辆坐标系中作用在x和y方向的力Fxi和Fyi表示为：

式中 Fx和Fy——分别表示轮胎的纵向力和侧向力；

δi——轮胎转角，本文研究车辆为前轮转向，可以认为δ1=δ2=δf，δ3=δ4=0。

因为hf、hr和hs均位于侧倾轴上，考虑hf、hr和hs三者之间的几何关系，hs可以表示为：

式中 m——整车质量；

ms——簧载质量；

hs——簧载质量质心到侧倾轴距离；

hf——前轴处侧倾轴到地面的距离；

hr——后轴处侧倾轴到地面的距离；

h——质心到地面的距离；

a、b——分别为前、后轴到质心的距离；

bf——前轴宽度；

br——后轴宽度；

Ix——侧倾转动惯量；

Iy——俯仰转动惯量；

Iz——横摆转动惯量；

g——重力加速度；

u、v——车辆的纵向和横向运动速度；

r——横摆角速度；

zs——车辆簧载质量垂向运动位移；

φ、θ——分别为侧倾角、俯仰角和横摆角；

Fxi——车辆坐标系车轮纵向力；

Fyi——车辆坐标系车轮侧向力；

Fx和Fy——分别表示轮胎模型纵向力和侧向力；

Fs——悬架力；i=1、2、3、4，分别代表左前、右前、左后、右后。

非簧载质量的运动主要考虑四个车轮的垂向运动和旋转运动，四个车轮的垂向运动方程为：

式中 mui——非簧载质量；

Zui——非簧载质量垂向运动位移；

Fzi——轮胎垂向力，可以近似表示为：

式中 kti——车轮近似刚度；

Zri——路面输入。

分布式驱动车辆的驱动力和制动力可以看成直接施加到车轮上的，不考虑轮胎半径的变化，忽略电机黏滞阻力，车轮转动的动力学方程可以写为：

式中 j——车轮的转动惯量；

ωi——车轮转动角速度；

Tdi——车轮驱动力；

Mbi——车轮制动力；

R——车轮半径。

2.悬架模型

悬架系统用于连接簧载质量和非簧载质量，传递二者之间的力和力矩，是整车建模中不可缺少的部分。传统悬架通过配置合适的弹簧和阻尼，能够有效缓解路面冲击、振动对簧载质量的影响，提高车辆的舒适性。为了研究的方便，建模时将悬架简化为弹簧阻尼系统，如图1.27所示。同时，考虑后续主动悬架的设计，必须引入控制力，悬架力学模型可以表示为：

式中 ki——悬架刚度；

ci——悬架阻尼；

Fi——主动悬架控制力；

Zsi——悬架处对应簧载质量垂向位移。

悬架处簧载质量的位移是计算悬架力的关键参数，一般通过车辆簧载质量质心处的位移来计算，得到每个具体悬架处的位移。考虑到簧载质量的俯仰和侧倾对悬架行程的影响，悬架处簧载质量的位移表示为：

考虑到车辆防侧翻控制的需要，增强悬架在车辆侧倾控制中的作用，设计相应的主动悬架。车辆主动悬架的主要结构分为动力源、作动器和控制器三部分。这里的分布式驱动电动SUV采用车辆动力电池为动力源，采用电液伺服比例阀为作动器，控制器根据需要输出电信号控制伺服阀输出控制力，实现主动悬架控制。现有伺服阀多为阀控缸、伺服阀、传感器的集成系统，伺服比例阀作动器的传递函数描述为：

式中 Kx——增益系数；

wsv——伺服阀固有频率；

wm——负载固有频率；

wh——液压的固有频率；

ξsv——伺服阀阻尼比；

ξh——液压阻尼比。

考虑到伺服比例阀控制系统的时滞，对式（1.82）中建立的传递函数进行改写，时滞大小定义为τ，模型改写成：

3.电机模型

对于分布式驱动电动SUV来说，轮毂电机是车辆的核心。车辆轮毂电机的选择，除了满足汽车日常行驶所需的转速和转矩要求外，还需要考虑其响应速度是否满足要求，质量是否过大，是否满足功能安全要求等。直流无刷电机具有质量轻、响应快、起动转矩大、体积小、高速转动时稳定易控等特性，且其结构简单、性价比高、过载能力强，作为电动汽车的驱动电机相比于其他电机更为合适［11］。

考虑到反电动势，由基尔霍夫定律可知，直流无刷电机的电压电流方程可以表示为：

式中 U——绕组电压；

i——绕组电流；

rm——直流电机等效电阻；

ωm——电机转速；

Ce——反电动势系数。

电机的电磁转矩与电流关系可以描述为：

式中 Tm——电磁转矩；

KT——电磁转矩系数。

忽略电机黏滞阻力，结合电机转矩公式，无负载时电机电流表示为：

式中 Jm——电机转动惯量。

联立上述电机相关方程，进行拉普拉斯变化，直流无刷电机的传递函数可以表示为：

4.仿真结果

为了验证建立的分布式驱动电动SUV模型的准确性，通过在Simulink中搭建模型，在J-turn工况下进行仿真验证。车辆仿真车速设定为80km/h。对车辆施加一个60°的方向盘阶跃转角，转速为600（°）/s，仿真结果如下。

所建立模型在J-turn工况下的侧倾角、侧倾角加速度、横摆角速度和侧向加速度响应仿真结果如图1.28所示。