1.2.2 向量的内积

两个向量的内积也称为两个向量的点乘，它是这两个向量对应分量相乘之后求和的结果。向量的内积是一个标量。向量x=（x₁，x₂，…，x_n）T和向量y=（y₁，y₂，…，y_n）T的内积公式是

定义了线性运算和内积的Rn称为欧氏空间。欧氏空间的详细定义会在后续章节给出。欧氏空间是一种常用的线性空间，欧氏空间中向量的加法和数乘定义是

其中，x_i、y_i、c∈R是标量。

向量x的大小为它内积的平方根，即，记为，也称为向量的模。向量内积满足定理1.1（柯西-施瓦茨不等式）。

定理1.1 向量的内积满足

证明：当y=0时，式（1.1）显然成立。假设y≠0，令

则有

又因为

等式两边开方有

若两个向量的内积等于零，则称它们正交。若线性空间V的一个向量v∈V与V的子空间W（W⊂V）中的任意向量w正交，即对于∀w∈W，有v·w=0，则称向量v与子空间W正交。两个向量正交可以理解为它们之间的夹角为90°，任意两个向量x和y之间的夹角可以用余弦定理来表示，即