3.数的进制

进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法。任何一种进制——X进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位。十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进位。

● 十进制

人类天然选择了十进制。

由于人类的双手共有十根手指，故在人类自发采用的进位制中，十进制是使用最普遍的一种。原始人类在需要计数的时候，首先想到的就是利用天然的算筹——手指来进行计数。成语“屈指可数”某种意义上来说就描述了这样一个计数的场景。

● 二进制

二进制有两个特点：一是它由两个数码0，1组成，二是二进制数运算规律是逢二进一。

我国古代发明的八卦，可以类比到通过爻组合而成的二进制数；爻是《易经》中组成卦的符号，“—”为阳爻，“－－”为阴爻。每三爻合成一卦，可得八卦。两仪即为二进制的位0与1，四象即两位二进制组合的4种状态，八卦即3位二进制组合的8种状态。两卦（六爻）相重，则得六十四卦。然而，八卦更应该被看作一种古代哲学思想，我国历史上并没有发展出二进制的应用。直到18世纪，德国著名的数学家、哲学家莱布尼茨才第一个认识到二进制计数法的重要性，并系统地提出了二进制数的运算法则。

因为数字计算机只能识别和处理由“0”“1”符号串组成的代码。其运算模式正是二进制，所以现代计算机领域普遍采用二进制进行计数。二进制虽然不如十进制直观，但在计算中却具有很多优点：

（1）二进制中只有两个数码0和1，可用具有两个不同稳定状态的元器件来表示一位数码。例如，电路中某一通路的电流的有无、某一节点电压的高低、晶体管的导通和截止等。

（2）二进制数运算简单，大大简化了计算中运算部件的结构。

（3）二进制天然兼容逻辑运算。逻辑“真”常用“1”表示，逻辑“假”常用“0”表示，这些都是逻辑计算的基础。

（4）二进制与2的乘方的各种进制换算起来非常方便。由于2是最基本的偶数，2的乘方之间运算非常方便，23＝8，24＝16，因此八进制和十六进制在计算机中也非常常见。只需要把二进制表达的数值从低位开始每3位一组截开，就可以表达为八进制数；从低位开始每4位一组截开，就可以表达为十六进制数。例如，二进制数据（11101010.010110100）2对应八进制数据（352.264）8或352.264O。

（5）由于210＝1024≈1000，这就在二进制和十进制之间建立了一个天然的近似关系，比如，我们在表示数据时常用的K、M、G、T这些数量单位，分别是Kilo（103）、Mega（106）、Giga（109）、Tera（1012）的简写，在表示计算机存储容量时近似表示为210，220，230，240，即：

1K＝1024个字节

1M＝1048576字节

1G＝1073741824字节

1T＝1099511627776字节

● 五进制

五进制是以5为基数的进位制，起源显然来自一只手有5根手指。计票时很多人惯用画“正”字的方式，其实就是一种五进制。与此类似，外国人也常用画五角星，或者四竖加一横来表示“5”。

我国古代人很喜欢用五进制，算盘就是五进制，这应该是便于计算的原因。比如，算盘口诀“三下五除二”，含义为在算盘的下档上有两个珠或者多于两个珠时，如果要再加上个三，操作时应从上档上拨下一个珠，下档上除去两个珠，即先加五再减二，上档那个珠，实际上就是一个五进制的进位。由于这句口诀给人非常干练的印象，已经成为办事利落的一个代名词。

我国古代音律中，使用更多的也是五声音阶，依次为“宫—商—角—徵—羽”。如按音高顺序排列，即为“1—2—3—5—6”。虽然只用了5个音符，但只要五音全了，也有着独特的艺术魅力。

● 七进制

七进制是以7为基数的计数系统。使用数码0～6。由于7是一个素数，七进制小数通常都是循环小数，除非分母是7的倍数，所以七进制用起来非常不方便。但我们平时采用的星期可以看作七进制的一个例子。

音乐的基本元素也是7个音符，却可以渲染出动人的旋律。

● 十二进制

十二进制是以12为基数的计数系统。十二进制的来源有两种说法，一种说法是10根手指头加两只脚，为什么不是加上10根脚指头？可能是因为穿着鞋子的缘故吧。另一个说法是可能因为一年约有12个整月，这个说法应该更可靠一些。

十二进制在日常生活中应用非常普遍，英制长度单位一英尺等于12英寸，一先令等于12便士。一天有24个小时，钟表的一个循环是12个小时。还有个单位叫作“打，”一打表示12个，所以超市里卖的啤酒、饮料基本都是12进制单位包装的，一箱12瓶或者24罐，一提一般是半打，6瓶。

● 十六进制

我国的重量单位曾经有一个进制的个例，就是1斤等于16两，所以成语有“半斤八两”之说。为什么会有这种特殊比例？有一种说法是为了便于细分，过去粮食比较稀缺，一斤粮食对半分就是8两一份，再对半得4两一份，再对半得2两一份，还可再细分为1两一份，都很精确，这其实就是二进制的优势了。1959年，国务院发布《关于统一计量制度的命令》，确定米制为中国基本计量单位，在全国推广使用，保留市制，规定“市制原定十六两为一斤，因为折算麻烦，应当一律改为十两为一斤”。但是中药材因为流传有大量带有重量的处方，计量仍用旧制。

● 六十进制

60是一个非常好的合数，它的因子很多，1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30，因此用60作为进制单位，可以很好地表示各种小数，给日常生活中的精细化分割带来很大的方便。比如，在一小时里面，不论是3分钟、5分钟、10分钟、15分钟、20分钟还是30分钟，都很容易换算出与一小时的比例关系，非常方便。前面提到，古巴比伦人最早引入了六十进制，希腊人、欧洲人到16世纪仍将这一系统运用于数学计算和天文学计算中，六十进制在漫长的历史发展中逐渐占据了自己的一席之地。直至现在六十进制仍被应用于角度、时间单位（分、秒）的记录表示上，我们现在把圆周分为360等份，也应归功于古代巴比伦人。