1.9.2 对主轴轴承组合设计的分析及轴承预紧力的校核
由图1-6可知，这台机床的内圆磨具，支承主轴的是角接触球轴承，轴承组合的形式为“同向—背对背”，轴承预紧的方法是弹簧压紧。
这种设计，前文已经介绍是国产内圆磨具的典型设计。所以很有必要对这种设计做一些分析计算。
1.轴承的工作温升对轴承游隙的影响
内圆磨具主轴的转速都是很高的，一般为10000～20000r/min，所以温升很高，其套筒外表面的工作温度在夏季可达50℃。但是主轴的工作温度，比套筒还要高，因为主轴散热条件不如套筒。两者的温差，最高可达20℃。此温差是否会增大轴承的游隙？是否会影响主轴的运转精度？这是需要通过热膨胀量的计算来确定的。
在图1-6中，前轴承的轴向安装尺寸为l2，在温升前主轴和套筒的这个尺寸是相同的。但是当主轴和套筒有了较大的温差时，这个尺寸就有差别了，下面计算这个差别。
Δl＝Δtlα
式中 Δl——零件的热膨胀量（mm）；
Δt——零件的温升（℃），主轴的温升Δt1＝40℃，套筒的温升Δt2＝20℃；
l——温升前零件的安装尺寸（mm），以大号磨具为例，l＝50mm；
α——材料的热膨胀系数（1/℃），主轴材料为40Cr，α＝11.2×10-6/℃；套筒材料为HT200，α＝（8.7～11.1）×10-6/℃，取α＝9.9×10-6/℃。
分别代入公式：
主轴的热膨胀量：Δl1＝40×50×11.2×10-6mm＝0.0224mm。
套筒的热膨胀量：Δl2＝20×50×9.9×10-6mm＝0.0099mm。
两者热膨胀量之差：Δl1-Δl2＝0.0224mm-0.0099mm＝0.0125mm。
由以上计算可知，温升后前轴承内圈的轴向位移比外圈多0.0125mm。那么此数据，对轴承的径向游隙又会产生多大的影响呢？这个问题可通过以下的计算来解答。计算简图如图1-14所示。
图1-14 轴承温升对径向游隙的影响计算图
a）轴向截面图 b）温升前接触区微观放大图 c）温升后接触区微观放大图 d）几何图形
以轴承7207 C为例计算。查轴承手册可知其参数如下：
r——钢球半径，r＝5.556mm。
R——内圈滚道弧面半径，R＝5.77824mm。
α——接触角，α＝15°。
由图1-14a可知，钢球的球心与内圈滚道弧面圆心并不在同一个垂直面内，两者的距离为δ。对7207 C轴承来说，δ＝0.058mm。
图1-14b所示为温升前接触区微观放大图。在工作负荷和预紧负荷的作用下，钢球和滚道都会产生微量的接触变形，但是此变形过于微小，视图无法表示。由图1-14b可知，钢球与滚道在E点相切，A点为钢球球心，B点为滚道弧面的圆心，两者的中心距AB可按下式计算
AB＝R-r＝5.77824mm-5.556mm＝0.22224mm
图1-14c所示为温升后接触区微观放大图。由图可以看到内圈滚道的弧面圆心由B点移到了C点，B、C两点的距离等于内圈与外圈轴向热膨胀量之差。
故得
BC＝Δl1-Δl2＝0.0125mm
由图1-14c还可以看到，在接触区，钢球与内圈滚道之间产生了径向间隙ED。ED值的计算过程如下。
图1-14 d所示为计算ED值的几何图形。根据正弦定理可得下式
式中 CD＝R＝5.77824mm；BC＝0.0125mm。
∠CBD＝90°-15°＝75°
各值代入方程
得
由此得
∠BDC＝0.119724°
∠BCD＝180°-∠CBD-∠BDC＝180°-75°-0.119724°＝104.880276°
又，根据正弦定理可得
得
由图1-14c得
ED＝BD-AE-AB＝5.7815mm-5.556mm-0.22224mm＝0.00326mm
根据以上的计算结果，可以得出如下的初步结论：内圆磨具在运转中产生较大的温升之后，由于主轴与套筒的散热条件不同，两者会产生较大的温差。如果在一个支点上安装两个同型号的角接触球轴承，则轴承的内圈和外圈会产生不相等的轴向膨胀量。对于7207 C型轴承，如果温差为20℃，轴向膨胀量之差为0.012mm，由此前轴承可产生0.00326mm的径向游隙。
此游隙是否会影响轴承的运转精度，还取决于轴承的径向热膨胀的情况。轴承的径向热膨胀量由两部分组成：①内圈与外圈的热膨胀量之差。当内圈与外圈的温差为10℃时，此差值为4.14×10-4mm；②钢球的热膨胀量。当轴承的温升为20℃时，此数值为2.49×10-3mm。此二值之和为0.0029mm。此数值与轴向热膨胀量产生的径向游隙几乎是相等的。即由它弥补了轴向热膨胀量产生的径向游隙。所以轴承可以保持原有的运转精度。
2.内圆磨具预紧力的校核
内圆磨具为了消除轴承游隙，更重要的是为了提高主轴的刚度，防止在高速运转时产生振动，都要对轴承施加适当的预加负荷，称为轴承的预紧处理。其实质就是对轴承施加适当的轴向力，使滚动体和内外圈的滚道，在接触区产生初始弹性变形。
施加预加负荷的方法有多种，这台磨床的内圆磨具采用的是弹簧预紧。即将内圈轴向固定，用数件小弹簧，通过预紧套对外圈预加轴向负荷（见图1-6）。这种方法能使外圈承受的轴向力均匀分布，而且当轴承磨损时或产生轴向热膨胀量时，自动补偿，使预加负荷保持不变。
通过测绘可知，原设计的预紧弹簧参数见表1-4。
表1-4 原设计轴承预紧弹簧参数
表中所列弹簧的工作总推力，就是组合轴承所承受的预加负荷。此数据是否合理，应加以校核。
关于轴承的预加负荷的合理数值，20世纪有资料介绍过苏联机床研究所推荐过的一个计算公式，现在早已不再被提及。近几年也有资料介绍新的公式。那么应如何掌握这个问题呢？笔者的浅见是，对于机床主轴这类高精度的机构，预加负荷当然要施加，但预紧的数值不宜采用统一的公式来确定，应根据机构设计的具体情况分别确定。
对于内圆磨具来说，工作时切削力不大，无振动，但转速很高，所以应采用比较小的预加负荷。由于所用的轴承是角接触球轴承。钢球与滚道的接触区有一个倾斜的角度，高速运转时，钢球在离心力的作用下有偏离正常轨道的趋势。所以预加负荷的数值，必须大于由钢球离心力所产生的轴向分力。也就是说，应按钢球运转时的离心力来校核弹簧的预紧力。
为此需要进行钢球运动参数及离心力的计算。
1）钢球球心（或保持架）绕轴承轴线的转速按下式计算
式中 no——钢球球心（或保持架）绕轴承轴线的转速（r/min）；
nB——轴承内圈转速（r/min），7207C轴承，nB1＝10000r/min，7206C轴承，nB2＝12500r/min；
Do——钢球球心绕轴承的旋转直径（mm），7207C轴承，Do1＝53.5mm＝0.0535m，7206C轴承，Do2＝46mm＝0.046m；
dm——钢球直径（mm），7207C轴承，dm1＝7/16in＝11.1125mm，7206C轴承，dm2＝3/8in＝9.525mm；
α——轴承接触角（°），α＝15°。
各值分别代入公式：
7207 C轴承钢球绕轴承轴线的转速
7206 C轴承钢球绕轴承轴线的转速
2）钢球球心运动的圆周速度计算，按下式计算
式中Do与no已知，将各值分别代入公式：
7207 C轴承钢球的圆周速度
7206 C轴承钢球的圆周速度
3）钢球圆周运动离心力计算，按下式计算
式中 F——钢球圆周运动离心力（N）；
v——钢球的圆周速度（m/s）；
m——钢球的质量（kg），
，7207C轴承钢球重力，G1＝55.3×10-3N，质量
；7206C轴承钢球重力G2＝34.8×10-3N，质量
。
各值分别代入公式：
7207 C轴承一个钢球的离心力
7206 C轴承一个钢球的离心力
4）轴承运转时，钢球的总离心力及其轴向分力计算。
7207 C轴承运转时，每件轴承的钢球的总离心力为
∑F1＝Z（钢球数量）F1＝12×26.43N＝317.16N
7206 C轴承运转时，每件轴承的钢球的总离心力为
∑F2＝ZF2＝12×22.39N＝268.68N
钢球的离心力F作用到轴承外圈之后，可分解为法向分力FN和轴向分力FA（见图1-15），轴向分力FA可使外圈产生轴向位移。由图1-6可知，此轴向分力由弹簧8来平衡。磨具共有四件轴承，它们的钢球的离心力所产生的轴向分力，全部依靠弹簧来平衡。
下面计算此轴向分力，按下式计算
∑FA＝∑Ftan15°×4
4件7207 C轴承，钢球离心力的轴向分力
∑FA1＝317.16×tan15°×4N＝339.93N
4件7206 C轴承，钢球离心力的轴向分力
∑FA2＝268.68×tan15°×4N＝287.97N
图1-15 离心力的轴向分力
对照表1-4中工作总推力的数值可知，表中的数值只是以上计算值的60%～70%。即弹簧的压力，不能与钢球运转时离心力的轴向分力相平衡。所以工作时轴承外圈可能产生轴位移，钢球在有间隙的状态下运转。这是原设计的重要不足之处。
但是，这台机床在加工普通工件时，却未见任何不正常之处，是何道理？查轴承手册可知，7207 C和7206 C两种轴承，其径向的原始游隙为12～26μm。此游隙不大，而且当轴承产生了温升之后，轴承的径向热膨胀量（前文已计算了此数值）可能将此游隙弥补。但是这类磨具主轴刚度不足，不能加工表面粗糙度Ra0.8μm以上的工件。
3.预紧弹簧的重新设计
为了解决上述问题，应重新设计预紧弹簧。但是为了使弹簧能安装在原设计的预紧套内，应尽量保持其外形尺寸不变。
在角接触球轴承的组合设计中，确定轴承的轴向预紧力应考虑的因素，主要是轴承所承受的径向和轴向载荷。在内圆磨削中，轴向载荷很小，可以忽略不计，而只考虑径向载荷。轴承所承受的径向载荷，就是前文在“磨具主轴刚度校核”一节中所计算的支反力（见图1-10和图1-11），其中前轴承的支反力FB远大于后轴承的支反力FC，故应采用FB的数据。大号磨具FB＝296.87N，小号磨具FB＝204.69N。
轴承组合的轴向预紧力，可按下式计算
AF＝nRtanα+A+FA
式中 AF——轴承组合的轴向预紧力（N）；
n——安全系数，n＝1.1～1.5，取n＝1.2；
R——组合轴承的径向载荷（N），大号磨具R＝296.87N，小号磨具R＝204.69N；
α——轴承接触角（°），α＝15°；
A——组合轴承的轴向载荷（N），A＝0；
FA——组合轴承的钢球离心力的轴向分力（N），大号磨具FA＝339.93N，小号磨具FA＝287.97N。
将各值分别代入公式：
大号磨具
AF1＝1.2×296.87×tan15°N+339.93N＝435.39N
小号磨具
AF2＝1.2×204.69×tan15°N+287.97N＝353.79N
预紧弹簧的参数计算：
弹簧设计的初始条件：
载荷类别：Ⅲ类。
端型型式：端部并紧、磨平，支承圈为1圈。
弹簧材料：碳素弹簧钢丝，C级；
抗拉强度：1960～2300MPa，取平均值：Rm＝2130MPa；
许用切应力：［τ］Ⅲ＝0.5×2130MPa＝1065MPa；
切变模量：G＝8×104N/mm2。
弹簧数量：6件（与原设计相同，以便安装）。
安装孔直径：大号磨具ϕ10.5mm，小号磨具ϕ8mm。
自由高度：32mm（与原设计相同）。
最大工作负荷高度：17mm（与原设计相同）。
最大工作负荷：大号磨具
＝72.67N，小号磨具
。
（1）大号磨具预紧弹簧参数计算
1）初定钢丝直径
d＝ϕ1.2mm
2）初定弹簧中径
D＝ϕ8mm
3）旋绕比
4）曲度系数
5）校验最大工作负荷
略大于规定数据，可行。故d＝ϕ1.2mm和D＝ϕ8mm可以确认。
6）极限工作负荷
，τj（极限切应力）＝1.12［τ］Ⅲ＝1.12×1065MPa＝1192.8MPa
得
7）最小工作负荷
8）节距
9）单圈刚度
10）初定自由高度
根据初始条件，H0＝32mm
11）有效圈数
12）校验自由高度
H0＝nt+1.5d＝8.5×3.6mm+1.5×1.2mm＝32.4mm
与初始条件相比大0.4mm，可行。所以t与n之值可以确认。
13）弹簧刚度
14）最大工作负荷下的变形
15）最大工作负荷下的高度
Hn＝H0-fn＝32.4mm-15.27mm＝17.13mm
此数据比要求的尺寸大0.13mm（见图1-16），最大工作负荷因此而增大的值可忽略不计。
16）极限工作负荷下的变形
17）极限工作负荷下的高度
Hj＝H0-fj＝32.4mm-17.42mm＝14.98mm
18）最小工作负荷下的变形
图1-16 大号磨具轴向预紧机构
19）最小工作负荷下的高度
H1＝H0-f1＝32.4mm-5.81mm＝26.59mm
20）弹簧圈数
n1＝n+2＝8.5+2＝10.5
21）展开长度
22）弹簧工作图如图1-17所示。
图1-17 弹簧
（2）小号磨具预紧弹簧参数计算
1）初定钢丝直径
d＝1mm
2）初定弹簧中径
D＝5.6mm
3）旋绕比
4）曲度系数
K＝1.27（查表）
5）校核最大工作负荷
比初始条件规定的数值小0.19N，可行。故d和D的数值可以确认。
6）极限工作负荷
7）最小工作负荷
8）节距
初定t＝2.1mm
9）单圈刚度
10）初定自由高度
根据初始条件，H0＝32mm
11）有效圈数
12）校核自由高度
H0＝14.5×2.1mm+1.5×1mm＝31.95mm
等于初始条件，所以t与n的值可以确认。
13）弹簧刚度
14）最大工作负荷下的变形
15）最大工作负荷下的高度
Hn＝31.95mm-15.01mm＝16.94mm
此数据符合初始条件（见图1-18）。
16）极限工作负荷下的变形
17）极限工作负荷下的高度
Hj＝31.95mm-16.76mm＝15.19mm
18）最小工作负荷下的变形
19）最小工作负荷下的高度
H1＝31.95mm-5.59mm＝26.36mm
20）弹簧圈数n1＝14.5+2＝16.5
21）展开长度
图1-18 小号磨具轴向预紧机构
22）弹簧工作图如图1-19所示。
图1-19 弹簧
4.组合轴承预加负荷的推荐数据
对于机床主轴这类精密机构的组合轴承，就进行预紧处理——这可能是个有争议的问题。关键的问题是：应如何确定预加负荷的合理数值。这个数据的确定主要的是要考虑两个因素：①轴承的工作负荷，因为预加负荷在工作中将与工作负荷相平衡；②轴承的工作温升，因为施加预加负荷会影响到工作温升。
对于这个问题，《滚动轴承手册》[2]推荐的数据应该是权威的资料，见表1-5，下面进行介绍。
表1-5 角接触球轴承预过盈的轴向力
注：d—轴承内径（mm）；nmax—轴承的最大转速（r/min）；A0—每对轴承预过盈的轴向力（N）。
由表1-5中的数据可以看到，表中的数值只是一个概略的数值。它没有列出具体的计算公式，而且dnmax值重叠之处，A0值也不完全相同。但是表中的数据告诉我们，应按照d和n这两个参数来确定预加负荷的数值。d是轴承内径，它代表了工作负荷这个因素，因为设计时轴承的内径是根据工作负荷来确定的。n是轴承的转速，它代表了工作温升这个因素，因为轴承的工作温升主要取决于工作转速。而且它为我们指出了确定A0值的要点：dn值越高，A0值应该越小。所以表中所列的概略数据，还是有重要的参考价值的。如果我们确定的A0值与表中的数据相近，则机器运转可能就不会出现大的问题。
还需说明一点，轴承的dn值又称“速度系数”，是表示轴承性能的一项重要指标。角接触轴承当采用滴油润滑时，dn的允许值为4×105mm·r/min。此数据也是极限值，当实际的dn值越接近此极限值时，所采用的预加负荷应当越小。