1.2 热传导方程及数学基础

为了在后续的章节中更容易理解焊接变形的有限元计算方法，对焊接传热方程及其求解进行简要说明。

1.2.1 热传导方程

常微分方程描述单质点的变化规律，如：某个物体在重力作用下做自由落体运动，下降距离随时间变化的规律；导弹在发动机推动下在空间飞行的轨迹等。常微分方程，自变量只和时间有关系，和空间位置没关系。常微分方程一般是把研究对象当成一个质点或者刚体，研究整体的运动规律。线性常微分方程相对比较好求解，可以通过傅里叶变换和拉普拉斯变换将微分方程变成代数方程，进而得出准确的解析解。

对于繁复纷杂的大自然，只用常微分方程是不够的，因为有些研究对象不能简化成质点，举一个典型的例子就是琴弦：琴弦是一个柔性体，在拨弹的时候每个点振动都是不一样的，一根均匀的弦，假定表示点在某一时刻的位移，取琴弦中一个微元进行力学分析，得到琴弦应遵守的方程为典型偏微分方程。

一维杆中随时间变化的温度场，也是很典型的偏微分方程，如式（1-12）所示。可以发现，这个方程的自变量不仅仅是时间，还有空间坐标，把这种方程称之为偏微分方程。也就是说，偏微分方程能描述连续体的各个点随时间变化的情况，本质是一种“场”的描述。

对于均匀且各向同性的连续体介质，并且其材料特征值与温度无关时，在能量守恒原理的基础上，可得到下面的热传导微分方程式：

式中 λ——热传导系数；

c——质量比热容（J/kg·℃）；

ρ——密度（g/mm3）；

Qv——单位体积逸出或消耗的热能（J）；

∂Qv/∂t——内热源强度；

T——温度（℃）；

t——时间（s）。

定义热扩散系数α=λ/cρ，并引入拉普拉斯算子▽2，则上式简化为：

1.2.2 数学基础

焊接传热方程是典型的高阶偏微分方程，如式（1-15）所示。首先，让我们去想象高阶导数的几何意义，一阶是斜率，二阶是曲率，三阶、四阶无明显的几何意义了；或许，高阶导数的几何意义不是在三维空间里面呈现的，穿过更高维的时空才能俯视它的含义。现在我们只是通过代数证明，发现高维投射到平面上的秘密。还可以这么来思考泰勒公式，泰勒公式让我们可以通过一个点来窥视整个函数的发展，为什么呢？因为点的发展趋势蕴含在导数之中，而导数的发展趋势蕴含在二阶导数之中。

人类经过多年的进化，形成了一种不可或缺的分析能力，那就是化繁为简，比如：人们发现虽然价格千千万，但总是可以用几种简单的数字叠加起来，而1、2和5这三个数字恰恰是10进制里面最简便的组合。为了“简单”而进行“分解”，为了更好的“分解”，人类又发明了“正交”的概念。何谓正交呢，它其实脱胎于“垂直”而又有更丰富的内涵。我们知道在垂直坐标系中，三个坐标轴是相互垂直的，这样的好处是各个轴向之间是独立的，互不干扰的。当然，这些描述都是定性的，对于严谨的数学家和工程师而言，这是不可接受的。于是，又引入了一个新的概念：内积，当内积为零时，两个量就是正交的。

假如内积不再是一个向量，而是一个函数，会有什么结果？比如我们如果假设公式是两个函数。只要满足一定的条件，任何函数都可以用einwt叠加出来。傅里叶变换是将函数分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上。傅立叶变换是求解热传导方程的基本工具，如式（1-16）所示。

傅里叶变换是将函数分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上；拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。因为拉普拉斯变换的内积有两个变量，因此更灵活，适用范围更广。傅里叶变换、拉普拉斯变换甚至小波变换等，其本质就是把“不容易处理的函数”变换成“容易处理的函数之叠加”，对于傅里叶变换，这个“容易处理的函数”是正弦函数。传热方程的傅里叶展开过程如图1-16所示。