第一节 定理98（§§23-28）

定义69

∀d（Fd→∀a（fda→Fa））↔|δα（Fδ，fδα）

它是说，如果无论d是什么，都可以从命题“d有性质F”推出“步骤f运用于d的任何结果都有性质F”，则“性质F在f序列中是遗传的”。其中d和a是对象，F是一层概念，f是一层关系；|δα（…δ，…δα）是二层关系，表示一层概念F和一层关系f处于|δα（…δ，…δα）这个二层关系中。举例来说，如果把“Fd”看作“d是人类”，把“fda”看作“d和a是父子关系”，则定义69是说，如果父亲是人类，则儿子也是人类；也就是说，“是人类”这个性质在父子之间是遗传的。

命题72

|δα（Fδ，fδα）→Fx→fxy→Fy

它是说，如果性质F在f序列中是遗传的，x有性质F，并且y是步骤f运用于x的结果，则y有性质F。显然，从定义69可以直接推出命题72。

命题74

Fx→|δα（Fδ，fδα）→fxy→Fy

它是说，如果x有性质F，并且性质F在f序列中是遗传的，则步骤f运用于x的任何结果都有性质F。从定义69可以直接推出命题74。

命题75

∀d（Fd→∀a（fda→Fa））→|δα（Fδ，fδα）

它是说，如果无论d是什么，都可以从命题“d有性质F”推出“步骤f运用于d的任何结果都有性质F”，则性质F在f序列中是遗传的。这是命题72的逆命题。

定义76

∀F（|δα（Fδ，fδα）→∀a（fxa→Fa）→Fy）↔～（fxy）

它是说，如果无论F是什么，都可以从以下两个命题“步骤f运用于x的任何结果都有性质F”和“性质F在f序列中是遗传的”推出“y有性质F”，则“在f序列中y在x之后”或者“在f序列中x在y之前”。这相当于定义了x和y之间的小于关系。其中～（……）是异层关系，它表示一层关系f与对象x和y处于～（……）这个异层关系中。一般来说，如果两个对象处于一层关系中，或两个一层概念处于二层关系中，则这些关系都是同层关系；如果对象和一层概念处于一个关系中，或一层概念和二层概念处于一个关系中，则这些关系都是异层关系。

命题77

～（fxy）→|δα（Fδ，fδα）→∀a（fxa→Fa）→Fy

它是说，如果在f序列中y在x之后，性质F在f序列中是遗传的，并且步骤f运用于x的任何结果都有性质F，则y有性质F。显然，从定义76可以直接推出命题77。

命题81

Fx→|δα（Fδ，fδα）→～（fxy）→Fy

它是说，如果x有性质F，性质F在f序列中是遗传的，并且在f序列中y在x之后，则y有性质F。根据命题77，从～（fxy）和|δα（Fδ，fδα）可以推出∀a（fxa→Fa）→Fy；根据命题74，从Fx和|δα（Fδ，fδα）可以推出fxy→Fy；最后，从∀a（fxa→Fa）→Fy和fxy→Fy可以推出Fy。举例来说，如果把“Fd”看作“d是一堆豆子”，把“步骤f”看作“从一堆豆子中拿走一个豆子”，则命题81是说，一个豆子或者没有豆子也是一堆豆子。

命题87

～（fxy）→∀a（fxa→Fa）→|δα（Fδ，fδα）→fyz→Fz

它是说，如果z是步骤f运用于对象y的结果，在f序列中y在x之后，步骤f运用于x的任何结果都有性质F，并且性质F在f序列中是遗传的，则z有性质F。根据命题77，从～（fxy）和|δα（Fδ，fδα）可以推出∀a（fxa→Fa）→Fy，从∀a（fxa→Fa）→Fy和∀a（fxa→Fa）可以推出Fy；根据命题74，从Fy和|δα（Fδ，fδα）可以推出fyz→Fz；最后，从fyz→Fz和fyz可以推出Fz。

命题91

fxy→～（fxy）

它是说，在f序列中，步骤f运用于x的任何结果都在x之后。假设fxy，再假设|δα（Fδ，fδα）和∀a（fxa→Fa）。从∀a（fxa→Fa）和fxy可以推出Fy。因此，∀F（|δα（Fδ，fδα）→∀a（fxa→Fa）→Fy）。根据定义76，得证。

命题96

～（fxy）→fyz→～（fxz）

它是说，在f序列中，步骤f运用于在x之后的任何结果都在x之后。假设～（fxy）和fyz，再假设|δα（Fδ，fδα）和∀a（fxa→Fa）。根据命题87，从～（fxy）、∀a（fxa→Fa）、|δα（Fδ，fδα）和fyz可以推出Fz。因此，|δα（Fδ，fδα）→∀a（fxa→Fa）→Fz。根据定义76，得证。

命题97

|δα（～（fxα），fδα）

它是说，性质“在f序列中在x之后”在f序列中是遗传的。假设～（fxy）和fyz。根据命题96，从～（fxy）和fyz可以推出～（fxz）。因此，∀d（～（fxd）→∀a（fda→～（fxa）））。根据定义69，得证。

命题98

～（fxy）→～（fyz）→～（fxz）

它是说，如果在f序列中y在x之后，并且在f序列中z在y之后，则在f序列中z在x之后。假设～（fxy）和～（fyz），再假设|δα（Fδ，fδα）和∀a（fxa→Fa）。根据定义76，|δα（Fδ，fδα）→∀a（fxa→Fa）→Fy，|δα（Fδ，fδα）→∀a（fya→Fa）→Fz。从|δα（Fδ，fδα）→∀a（fxa→Fa）→Fy、|δα（Fδ，fδα）和（fxa→Fa）可以推出∀aFy。根据命题81，从Fy、|δα（Fδ，fδα）和～（fyz）可以推出Fz。根据定义76，得证。