1.2.3　躬行实践——割圆术求圆周率

【情境】

刘徽首创了“割圆术”——通过计算圆内接正多边形的周长和面积，从而求得圆的周长和面积。圆内接正多边形的边数越多，其周长和面积就越接近圆的周长和面积。用割圆术来计算圆周率的方法蕴含极限思想，刘徽用这种方法计算了圆内接正192边形的周长，得到了圆周率的近似值，后来又计算了圆内接正3072边形的周长，得到了圆周率的近似值。接下来让我们一起来了解一下刘徽的计算方法。

【数学原理】

采用割圆术计算圆周率，将圆分割成正多边形，分割得越细，正多边形的边数就越多，正多边形的面积和周长就与圆的面积和周长越接近，如此割了再割，最后正多边形与圆合为一体，毫无差别。

【步骤】

1.首先观察单位圆内接正六边形，可以看到，正六边形的面积显然和圆面积相差甚远。将正六边形进一步分割为正十二边形，正十二边形的面积与圆面积逐渐趋近，如图1.8所示。

图1.8　圆内接正多边形示意图

2.计算正十二边形的面积：

设AB是单位圆r=1的圆内接正六边形的一边，点C平分AB弧，那么AC是圆内接正十二边形的边。如果已知AB的长度a_n，如何求AC的长度a_2n？

　　①

已知a₆=1，则由上式可以推出，

因此，正十二边形的面积。

3.计算正a_2n边形的面积：

由式①可知，，当a₆=1时，则可由该式推出a₁₂，a₂₄，…

从上述计算过程中不难发现，正2n边形的面积等于正n边形的面积加上n个等腰三角形的面积，即

由a₆=1，有，与几何计算结果一致，

同理，可以得到S₂₄，S₄₈，…

分割得越细，正多边形的面积与圆的面积就越接近，计算出的圆周率的精确值也就越高，你感受到古人的智慧了吗？