1.1.1　计数的演变：从结绳计数到十进位值制计数法

上古无文字，结绳以记事。《周易·系辞下》中说：“上古结绳而治，结绳为约。事大，大结其绳；事小，小结其绳。”鲁迅先生在《门外文谈》中也曾提到家乡的人会在裤带上打一个结防止忘记紧要的事情。结绳计数是一种表示和记录数字的方式（图1.1）。

图1.1　结绳记事、计数

和结绳计数同时期出现的是刻痕计数，就是在某种物件上刻划一些符号以计数。我国古人往往在动物骨片、竹片等物件上刻划计数，见图1.2。此木刻原十二个缺口已被削平两个，表示已过去了两天。

图1.2　木刻计数

但是，用结绳和刻痕的方法进行计数，当数字很大时，就会失去其准确性，因此人类需要创造数字符号或记录更大数的方法来弥补这种缺陷。1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、100、1000、10000在甲骨文中已有记载（图1.3），可以看到商周时代刻在龟甲或兽骨上的数字形式已具备现在所使用汉字形式的雏形。

图1.3　甲骨文表示的数字

随着计数的需要，算筹计数法和十进位值制计数法应运而生。

我国是世界上最早产生十进位值制这一概念并确立完善的十进位值制计数法的国家。春秋战国时期，我国就开始使用算筹，算筹计数法是早期比较普遍又典型的十进位值制计数法。

把算筹进行不同的摆放可以表示不同的数，如“”和“”，分别表示为41和53。我国古代著作《孙子算经》中给出如何表示一个多位数的方法，“凡算之法：先识其位，一从十横，百立千僵，千十相望、万百相当”。算筹的纵横交错摆放，准确地指出了各个数码所在位置，而且不易混淆。根据后来的记载可知，用算筹摆数字由右向左进位，摆法有纵式和横式两种（最早载于《孙子算经》）。

以上摆放的数字分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9。一个具体数目则纵、横相间摆出，奇数位为纵式，偶数位为横式，遇有零则空位。这种计数法成了计数和计算领域的革命性发明，符合十进位值制原则，即“逢十进一”，每个数位上的数字不会超过9。

算筹还可以表示各种代数式，进行各种代数运算。我国古代在数字计算和代数学方面取得的辉煌成就，和算筹有密切的关系。秦汉之际，我国便出现了完整的十进位值制，唐朝时期传入天竺国（古印度），比我国晚了一千多年。现代数学中的数学分科“运筹学”，其名称也来源于古代算筹。

十进制的计数方法是古代最先进、最科学的计数法，至今仍然发挥着重要作用。一方面，十进位值制计数法包括位置制和进位制，它给予了计数的简化与计算的方便，马克思称赞它是“最美妙的数学发明”。它可以简洁明了地表达数，比如，我们来对数字128进行拆解：8在个位上，因此可以写成8×10⁰，2在十位上，因此可以写成2×10¹，1在百位上，因此可以写成1×10²，即

128=1×10²+2×10¹+8×10⁰=1×100+2×10+8×1

=100+20+8=128。

另一方面，“十进制”打通了不同数集之间的关联，通过感悟“十进制”数的意义，体会计数的规律，可以帮助我们把握整数、小数和分数的一致性。可以这样说，如果没有十进制，后世的科学研究和技术研究就很难进行。我国著名数学家吴文俊院士曾表示，十进位值制计数法对世界文化的贡献之大，如果不能与火的发明相比，也是可以与火药、指南针、印刷术等发明相媲美的。